Dlaczego V rms zamiast V średniej?

Patrzę na równanie średniej mocy w sygnale

i zastanawiam się, dlaczego tak nie jest

Proste: średnia sinusa wynosi zero.

Moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia:

$P = \dfrac{V^2}{R}$

więc aby uzyskać średnią moc, należy obliczyć średnie napięcie do kwadratu. To właśnie odnosi się do RMS: Root Mean Square: weź pierwiastek kwadratowy średniej (średniej) z kwadratowego napięcia. Musisz wziąć pierwiastek kwadratowy, aby ponownie uzyskać wymiar napięcia, odkąd po raz pierwszy go wyrównywałeś.

Ten wykres pokazuje różnicę między nimi. Fioletowa krzywa jest kwadratem sinusoidalnym, żółtawa linia jest wartością bezwzględną. Wartość RMS wynosi $\sqrt{2}/2$, czyli około 0,71, średnia wartość jest$2/\pi$lub około 0,64, różnica 10%.

RMS daje równoważne napięcie stałe dla tej samej mocy. Jeśli zmierzysz temperaturę rezystora jako miarę rozproszonej energii, zobaczysz, że jest ona taka sama jak dla napięcia stałego o wartości 0,71 V, a nie 0,64 V.

edytuj
Pomiar średniego napięcia jest tańszy niż pomiar napięcia RMS i to właśnie robią tańsze DMM. Zakładają, że sygnał jest falą sinusoidalną, mierzą rektyfikowaną średnią i mnożą wynik przez 1,11 (0,71 / 0,64), aby uzyskać wartość RMS. Ale współczynnik 1,11 obowiązuje tylko dla fal sinusoidalnych. W przypadku innych sygnałów stosunek będzie inny. Ten stosunek ma nazwę: nazywa się to współczynnikiem kształtu sygnału . Dla 10% sygnału cyklu roboczego PWM współczynnik kształtu wynosi lub około 0,316. Too wielemniej niż sinus 1.11. DMM, które nie są „True RMS”, dajądużebłędy dla przebiegów niesinusoidalnych.$1/\sqrt{10}$

Mówiąc teraz w kategoriach równań:

$P_{avg}= avg(P_{inst})$

$P_{inst} = v(t) \cdot i(t)$$v(t)$$i(t)$

$P_{inst} = \dfrac{(v(t))^2}{R}$

$P_{avg} = avg(\dfrac{((v(t))^2}{R})$

$P_{avg}= \dfrac{V_{rms}^2}{R}$

$\sqrt{\text{average of squares of inst.}}$

Dlaczego jest to proste.

Chcesz 1 W = 1 W.

Wyobraź sobie prymitywny grzejnik, rezystor 1 om.

Rozważ 1 VDC na rezystorze 1 om. Pobór mocy wynosi oczywiście 1 W. Zrób to przez godzinę, a spalisz jedną watogodzinę, wytwarzając ciepło.

Teraz zamiast prądu stałego chcesz podać prąd przemienny do rezystora i wytworzyć to samo ciepło. Jakiego napięcia AC używasz?

Okazuje się, że napięcie RMS daje pożądany rezultat.

Właśnie dlatego RMS jest zdefiniowany w taki sposób, aby liczby mocy były prawidłowe.

Ponieważ moc równa V ^ 2 / R, aby obliczyć średnią kwadratowych napięć wzdłuż fali sinusoidalnej, aby uzyskać V ^ 2avg. Dla uproszczenia bierzemy średnią tego środka, a następnie możemy sobie z tym poradzić, jak chcemy.

Odpowiedź jest powodem podanym przez Johna R. Strohm, a wyjaśnienie jest następujące: (wymaga kilku dodatków do odpowiedzi stevenvha)

Widzisz, gdy wysyłasz prąd stały przez rezystor i falę prądu przemiennego przez rezystor, rezystor nagrzewa się w obu przypadkach, ale zgodnie z równaniem dla średniej wartości efekt ogrzewania dla prądu przemiennego powinien wynosić 0, ale dlaczego nie? Dzieje się tak, ponieważ kiedy elektrony poruszają się w przewodniku, uderzają w atomy, a energia przekazywana atomom jest w konsekwencji odczuwana jako ciepło, teraz prąd przemienny robi to samo, tylko elektrony poruszają się w różnych kierunkach, ale transfer energii tutaj jest niezależny od kierunek, a więc przewodnik nagrzewa się tak samo.

Kiedy znajdziemy średnią wartość, składniki prądu przemiennego są anulowane, a zatem nie wyjaśniają, dlaczego generowane jest ciepło, ale równanie RMS to naprawia - jak mówi stevenvh, biorąc kwadrat, a następnie pierwiastek kwadratowy, przenosimy ujemną część na górę oś taka, że ​​części dodatnia i ujemna nie zostaną anulowane.

Dlatego mówimy, że średnia i wartości RMS fali prądu stałego są takie same.

To samo dotyczy każdego sygnału w świecie rzeczywistym (mam na myśli niedoskonały - nie czysty prąd przemienny), ponieważ seria Fouriera mówi, że każdą falę można zastąpić poprawną kombinacją fal sinusoidalnych i cosinusowych, a ponieważ częstotliwości fal są wyższe (liczby całkowite częstotliwości podstawowej) również zostają anulowane, izolując składową stałą.

Powyższe jest powodem, dla którego definiujemy wartość skuteczną jako równoważną wartość prądu stałego, który wytwarza taką samą ilość ciepła jak fala prądu przemiennego.

Mam nadzieję że to pomoże.

PS: Wiem, że wyjaśnienie, w jaki sposób generowane jest ciepło, jest dość niejednoznaczne, ale nie mogę znaleźć lepszego, i tak poszedłem, ponieważ pomaga przekazać wiadomość

y (x) = | x | nie jest rozróżnialny, ponieważ y '(0) jest niezdefiniowany.

y (x) = sqrt (x * x) jest różniczkowalny.

Są one jednak równoważne.

Vrms = średnia (abs (v (t))) = średnia (sqrt (v (t) * v (t)))

Dlaczego wybrali jedną definicję nad drugą? Jedna jest średnią funkcji różniczkowej.