Jaka jest częstotliwość „Nyquista” dla próbkowania pochodnej sygnału?

Tło: Próbuję prąd przez kondensator. Sygnałem zainteresowania jest napięcie na kondensatorze. Będę cyfrowo zintegrować pomiar prądu, aby uzyskać napięcie.

Pytanie: Biorąc pod uwagę, że napięcie na kondensatorze jest ograniczone, a ja próbuję pochodną tego napięcia, jaka jest minimalna częstotliwość próbkowania wymagana do idealnej rekonstrukcji sygnału napięcia z obecnych próbek?

Jeśli nie ma odpowiedzi na to pytanie z puszki, wszystko, co mogłoby skierować mnie w dobrym kierunku, byłoby pomocne. Z góry dziękuję za wszelką pomoc !!

Przyjmowanie pochodnej (lub całki) jest operacją liniową - nie tworzy żadnych częstotliwości, które nie byłyby w oryginalnym sygnale (ani nie usuwały żadnych), po prostu zmienia ich względne poziomy.

Zatem współczynnik Nyquista dla pochodnej jest taki sam jak dla oryginalnego sygnału.

Biorąc pochodną mnoży transformację przez s, co skutecznie obraca wykres wielkości przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zatem mogą równie dobrze być składnikami wyższej częstotliwości w pochodnej. Bardziej zwięzłym sposobem na określenie tego jest to, że derywatyzacja wzmacnia zawartość wysokiej częstotliwości.

Transformata Laplace'a (co byłoby reakcją skokową jednobiegunowego filtra górnoprzepustowego)$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

Przekształcenie Laplace'a jego pochodnej,$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

Pochodna w tym przypadku ma wyraźnie składowe o wyższej częstotliwości. Być może bardziej poprawnie, ma znacznie większe składowe wysokiej częstotliwości niż niebędące pochodnymi. Można zdecydować się na próbkowanie pierwszego sygnału z prędkością 200 rad / s z pewną pewnością, ponieważ energia jest bardzo mała w tempie NYQUIST, ale aliasing byłby znaczny, jeśli próbkowałbyś pochodną z tą samą szybkością.

Zatem zależy to od charakteru sygnału. Pochodna sinusoidy będzie sinusoidą o tej samej częstotliwości, ale pochodna szumu o ograniczonym paśmie będzie miała składowe o wyższej częstotliwości niż szum.

EDYCJA: W odpowiedzi na głos oddam ten dom konkretnym przykładem. Pozwól mi wziąć falę sinusoidalną i dodać do niej trochę przypadkowego normalnego hałasu (jedna dziesiąta wielkości fali sinusoidalnej)

Fft tego sygnału to:

A teraz pozwól mi wziąć pochodną sygnału:

i fft pochodnej

Podspróbkowanie będzie oczywiście alias albo sygnału, albo pochodnej. Efekty niepełnego próbkowania będą niewielkie dla sygnału, a wynik niewspróbkowania pochodnej będzie absolutnie bezużyteczny.

Nie możesz

Integracja powie ci tylko o tym, jak zmienia się napięcie podczas próbkowania.

Kondensator zawsze zacznie się jednak z pewnym ładunkiem, więc pojawi się napięcie początkowe. Twoje obliczenia nie mogą rozpoznać tego napięcia, więc nie mogą poznać rzeczywistego napięcia na kondensatorze w czasie pomiaru. Powinno to być znane z lekcji matematyki - zawsze integrujesz dwa punkty.

Masz również problem polegający na tym, że chociaż twoje obecne próbki pomiarowe są ograniczone przez Nyquista, rzeczywisty prąd płynący przez kondensator może nie być. O ile nie możesz zagwarantować, że prąd płynący przez kondensator ma twardy filtr dolnoprzepustowy gdzieś poniżej limitu Nyquista, nigdy nie możesz zmierzyć prądu wystarczająco dokładnie, aby odtworzyć napięcie. Muszę wyjaśnić, że jest to w rzeczywistości matematycznie niemożliwe, ponieważ wymagałoby to częstotliwości próbkowania nieskończoności.

Ale jeśli znasz napięcie początkowe i jeśli rzeczywisty prąd przez kondensator jest odpowiednio filtrowany przez filtr dolnoprzepustowy, to DaveTweed ma rację, że granica Nyquista dla całki jest taka sama jak dla próbkowanych danych.