Co to jest fala sinusoidalna?

Stało się tak, gdy zapytał mnie student. Proste pytanie, które można by pomyśleć. Z wyjątkiem ... jak zdefiniować taki bez tautologii? To znaczy bez użycia słowa „sinus” (lub cosinus w tym przypadku). Wikipedia nie pomaga, chociaż ruchomy dysk może mieć znaczenie.

Krótko mówiąc, podejrzewam, że jego nauczyciel postawił mu poważny problem, chociaż mogę się mylić.

To pojawiło się jako część kursu elektroniki. Przypuszczalnie wszelkie odpowiedzi można uzyskać na podstawie charakterystyki różnych elementów / obwodów.

Zacznij od tego:

^{symulacja tego obwodu - Schemat utworzony za pomocą CircuitLab}

Mówić:

mamy cewkę indukcyjną L1. Ładujemy C1 osobno , a następnie szybko podłączamy, jak pokazano, aby górna strona tego obwodu miała potencjał + 1V w stosunku do dolnej strony.

Zadaj sobie (lub uczniom):

Co się później stanie?

Sprytni uczniowie powiedzą: tak, to jest szybka zmiana napięcia na L1, więc minie trochę czasu, zanim wszystko będzie wyglądać bardziej „DC-y”, a prąd zacznie płynąć przez L1 i rozładować C1, tak że ogólny potencjał będzie być 0 V.

Ale co z polem magnetycznym w cewce indukcyjnej

O tak, to teraz magazynuje energię z kondensatora

Więc przepływ prądu zatrzyma się na zawsze, gdy napięcie na C1 (i L1) wyniesie 0 V?

Nie, energia pola magnetycznego musi gdzieś iść. Kondensator ładuje się ponownie.

Czy możemy zastosować do tego formuły? Tak możemy; wprowadź równania różniczkowe opisujące prąd i napięcie na kondensatorach i cewkach indukcyjnych. Pokaż, że potrzebujesz funkcji, której druga pochodna jest sama, zanegowana.

Teraz jest trudna część i obawiam się, że nie będziesz w stanie nic z tym zrobić: musisz powiedzieć: hej, to jest sinus, spełnia ten warunek.

Jednym ze sposobów byłoby opisanie fali sinusoidalnej w odniesieniu do koła jednostki. Promień oczywiście rysuje okrąg, ALE współrzędne xiy śledzą znane kształty fal.

Pomaga to również w obrazowym objaśnieniu formuły Eulersa:

$e^{i x} = cos(x)+ i\cdot sin(x)$

gdzie szczególny przypadek daje tożsamość Eulersa: e i π + 1 = $x = \pi$$e^{i \pi} + 1 = 0$

(źródło: https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/ )

Najłatwiejsze wyjaśnienie, które znalazłem, znajduje się w powyższym ruchomym obrazie. Chodzi o trójkąty prostopadłe występujące w okręgu.

Zdjęcie zrobione stąd . Zobacz także Dlaczego fala sinusoidalna jest preferowana w porównaniu z innymi przebiegami .

Proste: fala sinusoidalna w czasie, t , jest wyobrażoną częścią:

gdzie ω jest częstotliwością kątową.

Wiele problemów fizyki można sformułować jako równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

W przypadku oscylacji ciągłych („harmonicznych”) bez tłumienia ruch można po prostu opisać jako równanie różniczkowe funkcji i jej drugiej pochodnej. Bez tłumienia, przy czym f zwykle jest funkcją czasu , otrzymujesz coś takiego:

Można zdefiniować funkcję sinus jako f, ogólne rozwiązanie tego równania. Można wykazać, że jest to jedyne ogólne rozwiązanie tego problemu.

Oto twoja prosta definicja: rozwiązanie i dobry model do opisu typowych zjawisk.

Zobacz także tę odpowiedź: /electronics//a/368217/39297

Łatwy. Zacznij od lokomotyw parowych. Sinus jest pozycją tłoka względem kąta koła. * Możesz spojrzeć na jeden w muzeum: spust w żywym kolorze.

Na przykład spójrz na połączenie na pozycjach 3:00 i 9:00 (90 i 270 na fali sinusoidalnej, gdzie jest ono płaskie) i zobaczysz, gdzie tłok ma problem: nie może zastosować żadnej siły. Dlatego mechanizm jest powielony po drugiej stronie, 90 stopni w fazie. Że tłok jest u szczytu swojej dźwigni.

Koncepcja działa jeszcze lepiej z 3 (60 stopni poza fazą), co zrobiły lokomotywy parowe, kiedy mogły (Wielka Brytania, Shay), i ta koncepcja jest dziś stosowana w energetyce 3-fazowej.

Generatory prądu przemiennego robią to samo, ponieważ pole magnetyczne prądu stałego wirnika przesuwa się po nieruchomych uzwojeniach pola. Generator jest napędzany, ale silnik jednofazowy może utknąć w górnym martwym punkcie, podobnie jak silnik parowy z jednym tłokiem. Rozwiązuje to specjalne uzwojenie rozrusznika. Silniki trójfazowe nie mają tego problemu.

Ta koncepcja pojawia się wielokrotnie w projektowaniu mechanicznym, a więc i elektronicznym. Jak zauważyli inni, pojawia się w naturze. Zauważ też, że jeśli pozycja jest falą sinusoidalną, prędkość jest falą sinusoidalną, przyspieszenie jest również falą sinusoidalną, szarpnięcie (dA) jest również falą sinusoidalną, to fale sinusoidalne są w dół. „Idealny prostokąt” ruchu.

* teraz główny pręt lokomotywy parowej lekko wstrząsa czystą falą sinusoidalną, ale jest to dość długi pręt (w przeciwieństwie do silnika samochodowego), więc różnica jest nieistotna pod względem operacyjnym i nie ma znaczenia dla konstruktorów lokomotyw .

DaveTweed: nie duplikat, bo idę prosto do aplikacji w świecie rzeczywistym.

Oto inne wyjaśnienie:

fale sinusoidalne

Dostosowana wycena:

Fala sinusoidalna to powtarzająca się zmiana lub ruch, który po wykreśleniu jako wykres ma ten sam kształt co funkcja sinusoidalna.

Cytat bardziej skierowany na elektronikę:

Energia elektryczna w twoim domu to prąd przemienny lub prąd przemienny. Kierunek przepływu prądu zmienia się 50 lub 60 razy na sekundę w zależności od miejsca zamieszkania. Jeśli wykreślisz napięcie w funkcji czasu, okaże się, że jest to również fala sinusoidalna, ponieważ pochodzi od obracającego się generatora.

W linku można również znaleźć przykłady fizyki fal sinusoidalnych dotyczące amplitudy, okresu i częstotliwości.

Na przykład ciężar zawieszony na sprężynie. Kiedy odbija się w górę iw dół, jego ruch, gdy jest wykreślany w czasie, jest falą sinusoidalną.

Odpowiedź udzielona przez Floriana Castellane pokazuje, że fala sinusoidalna jest rozwiązaniem bardzo podstawowego równania różniczkowego. Ale odpowiedź ta może być trudna do zrozumienia, jeśli nie zbadano równań różniczkowych.

Kiedy piszemy:

$a \cdot f'' + f = 0$$f'' = -\frac{1}{a}\cdot f$

F pewna zmienna to jest mierzone i K „” jest jego drugiej pochodnej.

To równanie różniczkowe pojawia się w wielu miejscach fizyki:

• $F = kx$

• $\frac{dI}{dt}=\frac{1}{L}\cdot v$

Ale zdarza się również, że istnieje inne źródło fal sinusoidalnych i jest to wszystko związane z obrotem kołowym. Zasada tego jest dobrze pokazana w odpowiedzi Andy'ego aka. Rotacja kołowa powoduje fale sinusoidalne np. W generatorach elektrycznych, a także w naszym własnym układzie słonecznym.

$A\sin(\omega t + \varphi)$

Ale to jest nieco tautologiczne, co czyni grzech wyjątkowym? dlaczego uważamy fale sinusoidalne za „czyste” częstotliwości.

Odpowiedzią na to jest to, jak się zachowuje przy zróżnicowaniu.

Pochodna fali sinusoidalnej jest falą sinusoidalną o tej samej częstotliwości. Jasne, że przesunięto fazę i ma inną amplitudę, ale ma tę samą częstotliwość i ten sam kształt.

Oprócz stałej arbitrażowej to samo dotyczy integracji.

Fale sinusoidalne są jedynymi prawdziwymi funkcjami okresowymi, dla których jest to prawdą. Wszystkie inne rzeczywiste funkcje okresowe zmienią kształt, gdy zostaną zróżnicowane lub zintegrowane.

Więc możemy powiedzieć

„fala sinusoidalna to sygnał okresowy, który zachowuje swój kształt i częstotliwość, gdy jest zróżnicowany lub zintegrowany”

Wiele układów w fizyce pozwala na nagłe i zaskakujące pojawienie się fal sinusoidalnych. Na przykład, kiedy byłeś młody, widziałeś zmarszczki w stałej wodzie, ruch huśtawki po tym, jak pchnąłeś i puściłeś, i próbowałeś zgiąć sztywną linijkę, a następnie ją zwolnić. Te rzeczy, choć różne, mają wspólną właściwość: poruszają się, kołyszą, lub ... wibrują lub ... bardziej ogólnie, poruszają się w tę iz powrotem. Lata mijały, a potem znalazłeś się na zajęciach z inżynierii, gdzie studiujesz, co naprawdę dzieje się z tymi poruszającymi się rzeczami, które obserwowałeś, aby przekonać się, że poruszają się w ten sam sposób! A to niespodzianka, fala sinusoidalna. To kwintesencjafala, ponieważ jego istnienie w przyrodzie ma wielkie znaczenie. Kto wie, co będzie, jeśli wsady w wodzie stacjonarnym były fale kwadratowe, co jeśli ruch swing przybiera formę prostokątnego, itp itd., Wówczas prostokątny byłoby być kwintesencji fali, to po prostu zdarza się, że nie jest to prawda, a fala sinusoidalna tak bardzo objawia się we wszechświecie.

Intrygujące jest to, że fala sinusoidalna pochodzi z trójkątów i kół. Teraz, bez znajomości matematyki, naprawdę trudno jest stamtąd połączyć kropki z manifestacjami fali sinusoidalnej w wodzie, huśtawkach, linijkach itp., Ale chodzi o to, że pochodna fali sinusoidalnej jest falą sinusoidalną i który znajduje się w geometrii koła i prawego trójkąta. Układy fizyczne można modelować za pomocą równań różniczkowych, co daje pewność, że fale sinusoidalne istnieją w tych układach (nie zapominaj również o wykładniczych; ich istnienie w naturze ma również duże znaczenie; mają one dziwnie głęboki związek z falami sinusoidalnymi , co ostatecznie ujawniono we wzorze Eulera).

Kolejną rzeczą dotyczącą fali sinusoidalnej jest to, że całkiem ładnie mogą „przechodzić” przez niektóre systemy. Posiadaj sinusoidalne wejście do systemu LTI (takiego jak system zbudowany wyłącznie z idealnych rezystorów, kondensatorów i cewek), a otrzymasz sinusoidalny sygnał wyjściowy (szczególnie taki, który zachowuje częstotliwość wejścia). Innymi słowy, przebieg sinusoidalny jest jedynym unikalnym przebiegiem, który nie zmienia swojego kształtu za pomocą systemu LTI. Spójrz na ten wykład.

Smutną rzeczą w sinusoidach jest to, że technicznie nie istnieją. Fale sinusoidalne, które wydostajesz się z natury, mają pewne deformacje, zniekształcenia, hałas, a także idealne elementy pasywne, nie istnieją. Najlepsze, co można uzyskać, to po prostu przybliżenie fali sinusoidalnej. Jeśli jednak ktoś jest tak delikatny w rozwijaniu matematyki, że bierze pod uwagę te niedoskonałości, wówczas pomiary mogą być coraz bardziej precyzyjne (co może być ograniczone do poziomu atomowego ze względu na mechanikę kwantową i całe to mumbo jumbo).

Rzut prostopadły punktu poruszającego się ze stałą prędkością kątową i kierunkiem wzdłuż koła, wykreślony w funkcji czasu.

Najłatwiej to sobie wyobrazić, to rzut spirali na płaszczyznę zawierającą linię środkową helisy. Jeśli umieścisz standardową sprężynę śrubową na rzutniku, wyświetli ona falę sinusoidalną. (Obróć, aby odpowiednio skorygować fazę, jeśli jesteś tak purystą. :-)

Próbuję to skonkretyzować, sugerując pomysł zbudowania starej szkoły „plotera” ... czegoś, co może toczyć arkusz papieru do przodu i do tyłu, a następnie ma długopis i ramię, które mogą poruszać się tylko w jednej osi .

Jeśli spróbujesz nakłonić kogoś do zastanowienia się nad zbudowaniem takiej maszyny, możesz łatwo skłonić ją do myślenia o programowaniu jej do rysowania linii i kwadratów. Stosunkowo łatwo jest też skłonić ich do myślenia o narysowaniu diamentu, gdy przesuwają papier i długopis z tą samą prędkością.

Następnie, jeśli zaczną myśleć o tym, czego potrzeba, aby narysować okrąg, muszą pomyśleć o tym, co różni się od narysowania diamentu. Muszą przyspieszyć, a następnie spowolnić ruch ręki, i przejść w drugą stronę.

Mam ochotę sprecyzować to w ten sposób, aby odsłaniać wykresy.

Wyobraź sobie wirujący dysk. Ustaw go pionowo. Połóż glob gumy do żucia gdzieś na krawędzi. Spójrz z boku. umieść za nim staromodny papier fotograficzny, a przed nim światło. pociągnij papier ze stałą prędkością, rozwijaj go, a zobaczysz falę sinusoidalną.

Fala sinusoidalna jest podstawowym rozwiązaniem prostego problemu ruchu harmonicznego. Jest to diff eq y = - k dy ^ 2 / dx ^ 2.

Jeśli masz do czynienia z studentami inżynierii / kimś, kto miał pierwszy rok (semestr, cokolwiek) z rachunku różniczkowego, możesz powiedzieć, że funkcja sinusoidalna jest funkcją, której pochodna jest przesunięta o 90 stopni wstecz. Innymi słowy, szybkość, z jaką zmienia pozycję, jest taka sama, jak szybkość, z jaką zmienia prędkość, chociaż nie w tym samym czasie.

Jednym ze sposobów opisania tego, co jest szczególne w sinusoidie, jest to, że jest to „czysta” częstotliwość. Każda analityczna funkcja powtarzalna może być opisana jako kombinacja fali sinusoidalnej. Fale sinusoidalne są elementami składowymi, na które można rozkładać takie funkcje.

Sinusy są również „naturalnym” przebiegiem, który wytwarza coś oscylującego. Wyobraź sobie zwisającą masę na końcu wiosny. Gdy już zaczniesz, będzie się poruszać w górę iw dół. Dzięki idealnej sprężynie ten ruch pionowy w funkcji czasu jest sinus. W prawdziwym świecie będzie to sinusoida, która powoli rozpada się w amplitudzie ze względu na to, że sprężyna rozprasza trochę energii za każdym razem, gdy jest zginana.

Ten sam efekt można zaobserwować w elektronice z kondensatorem i cewką równolegle. Jeśli naładujesz nasadkę, zamknij przełącznik, aby cewka indukcyjna i nasadka były równoległe, energia przeskakuje między nimi w nieskończoność, jeśli byłyby idealne. Zarówno napięcie, jak i prąd są sinusoidami, ale 90 ° poza fazą względem siebie. Podobnie jak w przypadku sprężyny i masy, w prawdziwym świecie oba faktycznie zanikają amplitudy w czasie, ponieważ część energii jest rozpraszana w komponentach, ponieważ nie są one idealne. Pójdę do bardziej szczegółowo o takiej cewki indukcyjnej i kondensatora obwodu tutaj .

Pomyśl o każdym rodzaju fali (kwadratowej, trójkątnej, piłokształtnej, impulsowej) analogowej lub cyfrowej. Wszystkie kształty fal składają się z dużej liczby rodzajów fali zsumowanych (o różnych częstotliwościach, amplitudach i fazach). Ten rodzaj jest znany jako fala sinusoidalna.