Dlaczego w pasywnym obwodzie z sinusoidalnym wejściem wszystkie napięcia i prądy zachowują się tak samo jak sinusoidalnie?

Wiem, że w każdym obwodzie złożonym z liniowych elementów pasywnych i sinusoidalnego sygnału wejściowego wszystkie napięcia i prądy przepływające przez i przez dowolny element będą wykazywały takie same sinusoidalne zachowanie i częstotliwość jak wejście; tak właśnie działają filtry pasywne. Ale nie mogę znaleźć ani znaleźć konkretnego / bezpośredniego dowodu na to, dlaczego tak się dzieje, jeśli nie zwykłe spostrzeżenie.

Wylewałem rozum i ostatecznie znalazłem dobre podejście matematyczne, aby to udowodnić, i postanowiłem odpowiedzieć na własne pytanie. W takim obwodzie rozwiązanie dla dowolnego napięcia / prądu w poprzek / przez dowolny element (nazywam to ) zawsze doprowadziłoby cię do zbudowania równania różniczkowego, które jest zawsze liniowe, o stałych współczynnikach (ze względu na liniowe właściwości elementów pasywnych) i niejednorodny (ze względu na sinusoidalny wkład). Takie równanie różniczkowe zawsze przybierze następującą postać: a d n$f$gdziea. . . ksą stałymi (kombinacje indukcyjności, rezystancji itp.),nto rząd równania różniczkowego (który odzwierciedla liczbę elementów magazynujących energię w obwodzie), aCsin(ωt+θ)jest uogólnioną funkcją sinusoidalną który opisuje dane wejściowe. Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego zawsze będzie miało następującą postać:f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ gdzie konkretne rozwiązanie = A sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ), która jest funkcją sinusoidalną o tej samej częstotliwości! Teraz, w analizie obwodu prądu przemiennego, zawsze patrzymy na obwód w stanie ustalonym, gdy jednorodne rozwiązanie zbliża się do zera (co nieuchronnie dzieje się z powodu rezystancji w obwodzie). $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Dotyczy to tylko obwodów LTI (liniowy niezmienny czas). Jeśli masz nieidealny komponent (i wszystkie są w tym lub innym stopniu), zobaczysz harmoniczne częstotliwości wejściowej na wyjściu. Cewki indukcyjne są zwykle najgorsze, ale wszystkie pasywne części mają takie zachowanie. Na przykład kondensatory mogą wykazywać silny współczynnik napięcia i nie są niezmienne w czasie z powodu absorpcji dielektrycznej.

Przez proste (zakładając grubsza 2nd roku Uniwersytet znajomość matematyki) dowód matematyczny można przeczytać te Berkeley golfowe (EECS20N: Sygnały i systemy) Notes. Możesz pobrać cały tekst tutaj .

Dzieje się tak, ponieważ fala sinusoidalna jest tylko jedną linią w spektrum częstotliwości i bez względu na to, co z nią zrobisz za pomocą filtra liniowego lub wzmacniacza, wszystko, co się dzieje, to przesunięcie fazy lub amplitudy.

Gdyby była to fala kwadratowa (nieskończone harmoniczne), wówczas zastosowanie filtra osłabiłoby lub akcentowało niektóre częstotliwości bardziej niż inne, a fala kwadratowa utraciłaby swój rozpoznawalny kwadratowy kształt.

Harmoniczne fali kwadratowej:

Źródło gif

Podstawowym powodem jest to, że równania składowe idealnych składników R, L i C są liniowe, niezmienne w czasie równania obejmujące tylko pochodne i całki (obie operacje liniowe) oraz że sinus i cosinus zmieniają się w inne sinus i cosinus, gdy działają na takie operatory liniowe.

Pochodna i całka funkcji sinusoidalnej jest kolejną funkcją sinusoidalną o tej samej częstotliwości (może zmieniać tylko amplitudę i fazę). KCL i KVL mogą prowadzić tylko do sum algebraicznych takich funkcji sinusoidalnych, a operacja ta może wytworzyć tylko inną funkcję sinusoidalną. Tak więc ostatecznie, gdy podłączysz R, L i C do sieci, sinusoidalny sygnał wejściowy zawsze będzie prowadził do sinusoidalnego sygnału wyjściowego.

Zobacz moją drugą odpowiedź tutaj .

Wszystko to jest bezpośrednią konsekwencją samopodobieństwa funkcji wykładniczej (związanej z sinusami i cosinusami według równania Eulera). Możesz przeczytać pierwszy rozdział Giorgi, Fizyka fal, aby uzyskać pełne wyjaśnienie tego.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$jest złożonym skalarem przenoszącym informacje o tłumieniu i przesunięciu fazowym) nazywane są charakterystycznymi lub właściwymi lub własnymi rozwiązaniami układów. Można ich użyć do zbudowania ortogonalnej podstawy z właściwością, że dowolną inną (dobrze wychowaną) funkcję można rozłożyć na uogólnioną sumę takich elementarnych klocków - i to zaprowadzi cię prosto na terytorium serii Fouriera, ale to już inna historia).

W pierwszej odpowiedzi na to pytanie w Math SE znajduje się zwięzłe wyjaśnienie: Dlaczego używamy funkcji trig w transformatach Fouriera, a nie innych funkcji okresowych?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Jest to prawdą tylko w przypadku ograniczenia elementów pasywnych do R, L, C i być może odpowiednio napędzanych kryształów - i nawet wtedy istnieją dwa wyjątki, patrz poniżej. Celowe i niezamierzone diody, warystory, termistory o masie termicznej i inne elementy nieliniowe mogą szybko wprowadzać zniekształcenia do czysto sinusoidalnych sygnałów wejściowych. Przerywane kryształy lub filtry ceramiczne mogą również zachowywać się raczej nieliniowo. Jeśli do kategorii pasywnej zostaną włączone elementy dwubiegunowe o ujemnym oporze (lampy wyładowcze, diody tunelowe), istnieje jeszcze więcej możliwości.

Wyjątki:

Rzeczywiste części mają zwykle niedoskonałości, które sprawiają, że zachowują się trochę jak niektóre elementy nieliniowe. Rezystory mogą mieć „termistor z masą termiczną”, a nawet „warystor”. Kondensatory mogą mieć zależność napięcia od ich wartości ze względu na efekty piezoelektryczne, pola elektryczne wytwarzające siłę mechaniczną, efekty chemiczne (w elektrolizmie). Wydaje się, że niektóre efekty elektretowe są udokumentowane dla kondensatorów. Połączenia metal-metal mogą wykazywać zachowanie podobne do diod. Cewki indukcyjne mogą stać się nieliniowe dzięki nasyceniu rdzenia, oddziaływaniu pola magnetycznego z pobliskimi metalowymi obiektami itp.

Wszystkie elementy rezystancyjne przewodzące prąd wykazują pewne zachowania generujące hałas, których dolne granice są określone przez twardą fizykę.

Pamiętaj, że wszystkie pozornie niesinusoidalne, powtarzalne sygnały z prawdziwego życia można doskonale opisać jako sumę fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach i fazach.

Poszukiwanie połączenia z naturą sprawi, że będziesz krążył w kółko: Fale sinusoidalne są głównym składnikiem tworzenia kręgów, owali i okrągłych przedmiotów, zgodnie z matematykami (jeśli chcesz narysować okrąg na komputerze, zwykle użyjesz sinusa / cosinus lub użyj twierdzenia Pitagorasa w jakiś sposób bezpośrednio ...). Natura tworzy wiele okrągłych rzeczy (włosy, łodygi roślin, wiśnie, plamy z wiśni, tornada itp.) I utrzymuje w tym celu wystarczającą ilość fal sinusoidalnych.

„Obwód” jest zwykle uważany za sieć komponentów z portem „wejściowym” i „wyjściowym”. Dzięki teorii sieci, takiej jak prawo Ohma, można wyprowadzić równanie, „funkcję transferu”, która opisuje dane wyjściowe w kategoriach danych wejściowych. Dzięki komponentom „liniowym” zawsze znajdziesz funkcję przenoszenia „liniowego”.

Opiszmy niektóre składowe liniowe z funkcjami, takimi jak output = F(input), output2 = G(input2)itp. Następnie połączenie takich składników prowadzi do połączonej funkcji, takiej jak output2 = G(F(input1)). Ponieważ obie funkcje są liniowe, a więc mają formę y = a * x + b, więc te kombinacje są również liniowe.

Gdy przykłada się sinusoidalny sygnał wejściowy do sieci liniowej, sygnał wyjściowy można wzmocnić o współczynnik a i przesunąć o napięcie b. Przy złożonej matematyce lub równaniach różniczkowych można nawet uzyskać „przesunięcie fazowe”, ale nie inną częstotliwość, ponieważ pochodna sinusa ma tę samą częstotliwość.

Czy chcesz to jeszcze bardziej formalne?

Albo twoje założenie jest fałszywe, albo źle sformułowałeś warunki brzegowe.

Rozważ proste pasywne urządzenie, takie jak dioda. Będzie wykazywał nieliniową charakterystykę przenoszenia, co skutkuje niesinusoidalnym wyjściem dla danego

Weź również pod uwagę idealny obwód rezonansowy (LC) z funkcją przenoszenia, która daje zerową moc wyjściową - a zatem niesinusoidalną.

Funkcje własne liniowych systemów niezmienniczych w czasie (i sieci pasywne generalnie są tego rodzaju) są złożonymi wykładnikami, a ich rzeczywistymi superpozycjami są sininoidy o dowolnej fazie.

Funkcja własna to funkcja, która zmienia się tylko przez stały (w tym przypadku złożony) czynnik po przejściu przez system. Systemy liniowe to takie, w których dane wyjściowe odpowiadające sumie kilku danych wejściowych odpowiadają sumie danych wyjściowych poszczególnych danych, dlatego zawsze można je analizować, wyrażając ich dane wejściowe jako wygodną sumę. Jeśli suma ta może być sumą wyrażoną w oparciu o prostopadłą funkcję własną, rzeczy stają się o wiele łatwiejsze.

Cześć analiza Fouriera.