Pochodzenie S = VI * / 2

Zastanawiałem się, gdzie mogę znaleźć pochodną dla złożonej formuły mocy, S = VI * / 2, gdzie S, V i I są złożonymi fazorami.

Widziałem całą masę weryfikacji, w których ludzie poddają równanie rzeczy, aby pokazać, że to działa.

Oto, co do tej pory wiem: jeśli $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ i i , to i i S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— użytkownik968243
źródło

Musisz zdefiniować S, V, I i cokolwiek „* /” ma znaczyć.

— Olin Lathrop,

@OlinLathrop, to I * dla złożonego sprzężonego I (prądu) i podzielonego przez dwa, ponieważ oba są falami sinusoidalnymi (V i I *), więc oba mają konwersję RMS.

— Kortuk

Niech V i ja będą chwilowym napięciem i prądem na obciążeniu. Z definicji mocy, napięcia i prądu wynika relacja mocy chwilowej:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Co oznacza, że moc w danym momencie jest równa iloczynowi napięcia i prądu dokładnie w tym momencie. $t$

Zakładam, że wiesz, co tak naprawdę oznacza przedstawienie fazorów. Krótko mówiąc: fazor jest matematycznym skrótem reprezentującym sinusoidę o określonej nieznanej częstotliwości.

Zatem jest skrótem dla . Podobnie: oznacza . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Mnożenie dla wszystkich , daje nam przebieg fali mocy chwilowej dla każdego . Praca nad tym mnożeniem: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Ponieważ , przyoraz, możemy uprościć powyższe równanie do: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Ten przebieg jest bardzo interesujący sam w sobie: jest wartością stałą zsumowane przez sinusoidę $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

To wyraźnie pokazuje, że chwilowa moc nie jest stała w czasie.

Na podstawie tego wyniku możemy zobaczyć, że średnia moc jest równa niezmiennej składowej (dość łatwo jest udowodnić, że matematycznie wystarczy rozwiązać całkę $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Zmotywowany tym wynikiem i całkiem słodką geometryczną interpretacją , ta wartość została zdefiniowana jako moc rzeczywista , to znaczy moc faktycznie dostarczana do obciążenia. Teraz wiesz, że ta tak zwana moc rzeczywista jest niczym więcej niż średnią mocą przy obciążeniu. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Zagłębiając się trochę w tę koncepcję (szkoda, że nie mogę tu narysować, ale spróbuję):

Niech v będzie wektorem o wielkości || v || i faza , i jestem wektorem o wielkości || i || i faza Jeśli pomnożysz || i || przez masz rzut i na v . Z drugiej strony, Mówi się, że jest składnikiem i w kwadraturze z v $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

Teraz możesz zrozumieć, dlaczego średnia moc ma fajną interpretację geometryczną: średnia moc to napięcie pomnożone przez rzut prądu nad napięciem na przestrzeń fazorową.

To zmotywowało stworzenie złożonej mocy S jako:

S = P + jQ

W tej definicji rzeczywista część wektora jest dokładnie średnią mocą dostarczaną do obciążenia, a część złożona to moc, o której mówi się, że jest kwadraturowa , zwana mocą bierną (google dla Trójkąta Mocy, aby zobaczyć geometryczną interpretację tego wyniku) .

Ok, wracając do definicji , widzimy, że $s(t)$ i, z definicji, i aby zachować zgodność z definicją S, jest równe $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Tak więc, jak chcieliśmy na początku udowodnić:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

A więc proszę bardzo, co chciałeś zobaczyć;)

edycja : Jaka jest fizyczna interpretacja Q?

Pokazałem powyżej, jaka jest fizyczna interpretacja rzeczywistej części mocy zespolonej, P, to znaczy średniej mocy dostarczanej do obciążenia. Ale czym dokładnie jest Q, jak można to sobie wyobrazić? Opiera się na fakcie, że cos i sin są ortogonalne , a zasadę superpozycji można zastosować do mocy, jeśli dwa przebiegi biorące udział w obliczeniach są ortogonalne. Przejdźmy do matematyki, bo to naprawdę się liczy.

Wykorzystując wynik uzyskany powyżej: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Pierwszy przypadek: obciążenie czysto rezystancyjne, tak że

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Jest to sinusoida skoncentrowana na $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

To jest czysto oscylacyjny przebieg ze średnią wartość równą 0. Nazwijmy ten wynik Q .

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

W tym przypadku s (t) jest dokładnie ogólnym równaniem, które znaleźliśmy w powyższej dyskusji. Ale możemy to przepisać, aby wykorzystać wynik z dwóch poprzednich przypadków, na przykład:

$\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Zmiana warunków:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Wykorzystując wynik dwóch pierwszych przypadków powyżej:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Niesamowity wynik, prawda? Co to znaczy?

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

$i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

Spróbujmy:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$

$\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

Z relacją:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

Mamy:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Właśnie tego chcieliśmy, aby przepisać i (t) jako sumę dwóch składników: jednego w fazie za pomocą v (t) i jednego w kwadraturze za pomocą v (t)!

Teraz można wyjaśnić wynik przypadku 3: i (t) można rozłożyć na dwa składniki, jak pokazano powyżej, a moc generowana przez i (t) jest równa mocy wytwarzanej przez każdy z tych składników osobno . Łał, tak jak superpozycja, ale dla władzy! ( Pamiętaj, że jest to tylko prawda i zostało to udowodnione powyżej, ponieważ cos i grzech są ortogonalne )

Zatem Q jest ilością mocy generowanej przez składnik i (t), który jest kwadraturowy z v (t). Jest czysto oscylacyjny i nie ma wartości średniej.

P to ilość energii wytwarzanej przez składnik i (t), który jest w fazie z v (t). Jest oscylacyjny, ale ma średnią wartość, która jest równa średniej mocy dostarczanej do obciążenia.

A moc zespolona S , moc całkowita, jest dokładnie sumą tych dwóch składników

— Castilho
źródło

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

Tak. masz rację, to NIE PYTANIE. Moc bierna jest zdefiniowana tylko w kategoriach różnicy faz między napięciem a napięciem i jest to wartość bezpośrednio związana z definicją S jako fazora. Jest to moc, która byłaby dostarczana przez prąd w kwadraturze z napięciem. Składnik zmieniający się w czasie nie jest brany pod uwagę, ponieważ w tym sensie tak naprawdę liczy się średnia moc przy obciążeniu. Różna część ISTNIEJE, naprawdę tam jest (na przykład obejrzyj żarówkę), ale z czasem moc jest związana tylko z częścią statyczną s (t). ;)

— Castilho,

Okej, więc czy ta zmienna część ma specjalną nazwę? W każdym razie, więc jeśli dobrze to rozumiem, ilość I w kierunku V to moc rzeczywista, a ilość I, prostopadła do V, jest mocą złożoną.

— user968243,

prawie tyle, ilość I w kierunku V pomnożona przez V to moc rzeczywista P, ilość I prostopadła do V pomnożona przez V to moc REAKTYWNA Q, P + jQ to moc zespolona lub moc pozorna;)

— Castilho,

Ok, to ma sens! Właściwie w poprzednim komentarzu pytałem, jak to się nazywa: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Naprawdę myślałem, że to moc bierna ... Nawiasem mówiąc, dzięki za odpowiedzi, jestem wdzięczny!

— user968243