Dlaczego szybkość transmisji danych Nyquist jest niższa niż szybkość transmisji Shannon?

W książce Computer Networks autor mówi o maksymalnej szybkości transmisji danych kanału. Przedstawia formułę Nyquista:

C = 2H log 2 V (bity / s)$_2$

I podaje przykład linii telefonicznej:

bezszumowy kanał 3 kHz nie może przesyłać sygnałów binarnych (tj. dwupoziomowych) z prędkością przekraczającą 6000 bps.

Następnie wyjaśnia równanie Shannona:

C = H log 2 (1 + S / N) (bity / s)$_2$

I podaje (ponownie) przykład linii telefonicznej:

kanał o szerokości 3000 Hz ze stosunkiem sygnału do szumu cieplnego wynoszącym 30 dB (typowe parametry analogowej części systemu telefonicznego) nigdy nie może przesyłać znacznie więcej niż 30 000 bps

Nie rozumiem, dlaczego współczynnik Nyquista jest znacznie niższy niż współczynnik Shannona, ponieważ wskaźnik Shannona uwzględnia szum. Zgaduję, że nie reprezentują one tej samej szybkości transmisji danych, ale książka tego nie wyjaśnia.

Aby to zrozumieć, musisz najpierw zrozumieć, że przesyłane bity nie muszą być czysto binarne, jak podano w przykładzie dotyczącym zdolności Nyquista. Powiedzmy, że masz sygnał w zakresie od 0 do 1 V. Możesz zmapować 0v na [00] .33v na [01] .66v na [10] i 1v na [11]. Aby uwzględnić to we wzorze Nyquista, zmienilibyście „V” z 2 poziomów dyskretnych na 4 poziomy dyskretne, zmieniając w ten sposób pojemność z 6000 na 12000. Można to zrobić dla dowolnej liczby wartości dyskretnych.

Istnieje jednak problem ze wzorem Nyquista. Ponieważ nie uwzględnia hałasu, nie ma możliwości sprawdzenia, ile dyskretnych wartości jest możliwych. Więc Shannon pojawił się i opracował metodę, aby w zasadzie umieścić teoretyczne maksimum na liczbie dyskretnych poziomów, które można odczytać bezbłędnie.

Tak więc w ich przykładzie uzyskania 30 000 bps musielibyśmy mieć 32 dyskretne wartości, które można odczytać w celu oznaczenia różnych symboli.

Szybkość danych Nyquista (nie częstotliwość Nyquista) to maksymalna szybkość dla sygnału binarnego (2 poziomy dyskretne).

Szybkość Shannona uwzględnia poziomy sygnału, ponieważ maksymalna szybkość danych nie jest tylko funkcją szerokości pasma - jeśli można zastosować nieskończoną liczbę poziomów sygnału, wówczas szybkość danych może być nieskończona niezależnie od szerokości pasma.
Ponieważ najmniejszy możliwy przyrost poziomu zależałby od stosunku sygnału do szumu, dlatego jest uwzględniony w częstotliwości Shannona. W powyższym przykładzie pokazano, że dla pasma 3000 kHz i współczynnika SNR 30dB można przesyłać poziomy reprezentujące 5 bitów informacji każdy.

Współczynnik mocy wynoszący 30 dB = 1000 do 1 można przekształcić z powrotem na napięcie o sqrt (1000) = ~ 32 rozróżnialnych poziomów (5 bitów). Jeśli zastosujemy to do prostszego twierdzenia Hartleya, otrzymamy 2B * log2 (32) = 30 kHz dla B = 3 Khz. Zatem 5 bitów informacji razy szybkość danych Nyquist 2B (= 6000 w tym przykładzie) równa się 30 000 bitów / sek.

Jeden opisuje, jak szybko próbkujesz, drugi ile danych możesz przesłać. Minimalna wymagana częstotliwość próbkowania jest tylko funkcją najwyższej częstotliwości, którą chcesz poprawnie reprezentować. Jest to niezależne od ilości hałasu na kanale. Jednak przy mniejszym hałasie możesz przesłać więcej informacji na próbkę. Innymi słowy, Nyquist mówi, jaka powinna być częstotliwość próbkowania, a Shannon mówi, ile bitów dostajesz na próbkę.