Jaka jest dokładnie rola wstrzymania zerowego rzędu w hybrydowym analogowo / cyfrowym systemie próbkowanych danych?

Przyznaję, retorycznie zadaję to pytanie. Jestem ciekawy, jakie odpowiedzi z tego wynikną.

Jeśli zdecydujesz się odpowiedzieć na to pytanie, upewnij się, że dobrze rozumiesz twierdzenie Shannona-Nyquista dotyczące próbkowania. Szczególnie rekonstrukcja. Uważaj także na „gotchas” w podręcznikach. Inżynierskie pojęcie funkcji impulsu delta diraca jest wystarczające. Nie musisz się martwić wszystkimi „dystrybucjami”, impuls diraca jako powstająca funkcja delta jest wystarczająco dobry:

δ (t) = lim_{τ \to 0} \frac{1}{τ} rect (\frac{t}{τ})

$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$

gdzie

r e c t (t) ≜ {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

Zagadnienia dotyczące precyzji, szerokości bitów przykładowych słów i kwantyzacji wykonanej podczas konwersji nie mają znaczenia dla tego pytania. Ale skalowanie od wejścia do wyjścia jest istotne.

W końcu napiszę własną odpowiedź, chyba że ktoś inny udzieli dokładnej i przydatnej pedagogicznie odpowiedzi. Mógłbym nawet za to zapłacić nagrodę (równie dobrze mogę wydać tyle moich przedstawicieli).

Mają na to.

sampling sample-and-hold zoh

— Robert Bristol-Johnson
źródło

czy interesuje Cię przede wszystkim aliasing?

— deadude

nie. zakładam, że wszystkie zasady twierdzenia o próbkowaniu są przestrzegane. to znaczy, żadna zawartość ani energia w ciągłym czasie wejściowym nie są próbkowane na poziomie . pamiętajcie teraz, że istnieje różnica między „aliasami” a „obrazami”.

\frac{f_{s}}{2}

$\frac{f_\mathrm{s}}{2}$

— Robert Bristol-Johnnson

o ile pamiętam, utrzymywanie zerowego rzędu jest jedynie opóźnieniem między próbkami w systemie cyfrowym i oczywiście może wpływać na analogiczną stronę rzeczy między jedną próbką a

— drugą

@ KyranF, to trochę więcej.

— Robert Bristol-Johnnson

@ robertbristow-johnson z odpowiedzi udzielonych przez Timo rzeczywiście wygląda na bardziej zaangażowanego niż myślałem. Powodzenia z tym!

— KyranF,

Odpowiedzi:

Ustawiać

Rozważamy układ z sygnałem wejściowym , a dla jasności , w razie potrzeby , określamy wartości jako napięcia. Badana okres wynosi , a odpowiadające próbkowania jest . $x(t)$ $x(t)$ $T$ $f_s \triangleq 1/T$

W przypadku transformacji Fouriera wybieramy konwencje podając odwrotną transformatę Fouriera Zauważ, że przy tych konwencjach jest funkcją zmiennej Laplace'a .

X (i 2 π f) = F (x (t)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} d t,

$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$

x (t) = F^{- 1} (X (i 2 π f)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} X (i 2 π f) e^{i 2 π f t} d f .

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$

X

$X$

s = i ω = i 2 π f

$s = i \omega = i 2 \pi f$

Idealne pobieranie próbek i rekonstrukcja

Zacznijmy od idealnego próbkowania: zgodnie z twierdzeniem Nyquista-Shannona o próbkowaniu , biorąc pod uwagę sygnał który jest ograniczony do , tj. wtedy oryginalny sygnał można doskonale odtworzyć z próbek , gdzie . Innymi słowy, biorąc pod uwagę warunek szerokości pasma sygnału (zwany kryterium Nyquista ), wystarczy znać jego wartości chwilowe w równo odległych dyskretnych punktach w czasie. $x(t)$ $f < \frac{1}{2} f_s$

X (i 2 π f) = 0, w h e n | f | \geq \frac{1}{2} f_{s},

$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(n T)$

n \in Z

$n\in \mathbb{Z}$

Twierdzenie o pobieraniu próbek podaje również wyraźną metodę przeprowadzenia rekonstrukcji. Usprawiedliwmy to w sposób, który będzie pomocny w następujących przypadkach: oszacujmy transformatę Fouriera sygnału przez jego sumę Riemanna z krokiem : gdzie . Przeredagujmy to jako całkę, aby oszacować błąd, który popełniamy: $X(i 2 \pi f)$ $x(t)$ $T$

X (i 2 π f) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n Δ t) e^{- i 2 π f n Δ t} Δ t,

$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$

Δ t = T

$\Delta t = T$

\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T.) {mi}^{- ja 2) π fa n T.} T. & = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) {mi}^{- ja 2) π fa t} T. δ (t - n T.) re t \\ = X (ja 2) π fa) * fa (T. \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T.)) \\ (1) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (fa - k / T.), \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$ którym zastosowaliśmy twierdzenie splotu na iloczynie i funkcji próbkowania , fakt, że transformata Fouriera funkcji próbkowania to i przeprowadził całkę nad funkcjami delta.

x (t)

$x(t)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} T δ (t - n T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (f - k / T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Zauważ, że lewa strona to dokładnie , gdzie to dyskretna transformata Fouriera odpowiadającego próbkowanego sygnału , przy bezwymiarowa dyskretna częstotliwość czasowa. $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $x[n] \triangleq x(n T)$ $f T$

Widzimy tutaj zasadniczą przyczynę kryterium Nyquista: jest to dokładnie to, co jest wymagane, aby zagwarantować, że warunki sumy się nie pokrywają. Przy kryterium Nyquista powyższa suma ogranicza się do okresowego rozszerzenia widma z przedziału do całej linii rzeczywistej. $[-f_s/2, f_s/2]$

Ponieważ DTFT w ma taką samą transformatę Fouriera w przedziale jak nasz oryginalny sygnał, możemy po prostu pomnożyć ją przez funkcję prostokątną i odzyskaj oryginalny sygnał. Poprzez twierdzenie splotu sprowadza się to do splotu grzebienia Diraca z transformatą Fouriera o funkcji prostokątnej, która w naszych konwencjach to gdzie znormalizowaną funkcją sinc jest $\eqref{discreteft}$ $[-f_s/2, f_s/2]$ $\mathrm{rect}(f/f_s)$

fa (r mi do t (fa / {fa}_{s})) = 1 / T. s ja n do (t / T.),

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$

s ja n do (x) ≜ \frac{grzech (π x)}{π x} .

$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$ Następnie splot po prostu zastępuje każdą deltę Diraca w grzebieniu Diraca funkcją sinc przesuniętą do pozycji delty, dając Jest to formuła interpolacyjna Whittakera-Shannona .

\begin{matrix} (2) & x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] s ja n do (t / T. - n) . \end{matrix}

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$

Nieidealne pobieranie próbek

Aby przetłumaczyć powyższą teorię na świat rzeczywisty, najtrudniejszą częścią jest zagwarantowanie ograniczenia pasma, które należy wykonać przed pobraniem próbek. Na potrzeby tej odpowiedzi zakładamy, że zostało to zrobione. Pozostałym zadaniem jest następnie pobranie chwilowych wartości sygnału. Ponieważ prawdziwy ADC będzie potrzebował skończonej ilości czasu na przybliżenie próbki, zwykła implementacja zapisze wartość sygnału w obwodzie próbkowania i trzymania, z którego powstaje aproksymacja cyfrowa.

Chociaż przypomina to bardzo zachowanie zerowego rzędu, jest to odrębny proces: wartość uzyskana z próbkowania i zatrzymania jest rzeczywiście dokładnie chwilową wartością sygnału, aż do przybliżenia, że sygnał pozostaje stały dla czas potrzebny do naładowania kondensatora zawierającego wartość próbki. Zwykle jest to dobrze osiągane przez systemy świata rzeczywistego.

Dlatego możemy powiedzieć, że ADC w świecie rzeczywistym, ignorując problem ograniczenia pasma, jest bardzo dobrym przybliżeniem w przypadku idealnego próbkowania, a konkretnie „schody” pochodzące z próbkowania i wstrzymania nie powodują żadnego błędu w samplowanie .

Niezbyt idealna rekonstrukcja

W celu rekonstrukcji celem jest znalezienie obwodu elektronicznego, który osiąga sumę sinc pojawiającą się w . Ponieważ cynk ma nieskończony zasięg w czasie, jest całkiem jasne, że nie można tego dokładnie zrealizować. Ponadto, utworzenie takiej sumy sygnałów, nawet do rozsądnego przybliżenia, wymagałoby wielu obwodów i szybko stałoby się bardzo złożone. Dlatego zwykle stosuje się o wiele prostsze przybliżenie: w każdej chwili próbkowania napięcie odpowiadające wartości próbki jest wyprowadzane i utrzymywane na stałym poziomie aż do następnej chwili próbkowania (chociaż patrz modulacja Delta-sigma dla przykładu metody alternatywnej). Jest to blokada zerowego rzędu i odpowiada zastąpieniu zastosowanego powyżej cynku funkcją prostokąta $\eqref{sumofsinc}$ $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$ . Obliczanie splotu wykorzystując właściwość definiującą funkcję delta, widzimy, że rzeczywiście skutkuje to klasycznym ciągłym przebiegiem schodów. Współczynnik wchodzi w celu anulowania wprowadzonego w . To, że taki czynnik jest potrzebny, wynika również z faktu, że jednostki odpowiedzi impulsowej wynoszą 1 / czas.

(1 / T. r mi do t (t / T. - 1 / 2))) * (\sum_{n = - \infty}^{\infty} T. x [n] δ (t - n T.)),

$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$

1 / T

$1/T$

T

$T$

(1)

$\eqref{discreteft}$

Przesunięcie o ma po prostu zagwarantować przyczynowość . Sprowadza się to tylko do przesunięcia wyjścia o 1/2 próbki w stosunku do użycia (co może mieć konsekwencje w systemach czasu rzeczywistego lub gdy potrzebna jest bardzo precyzyjna synchronizacja ze zdarzeniami zewnętrznymi ), które zignorujemy w dalszej części. $-1/2 T$ $1/T \mathrm{rect}(1/T)$

W porównaniu do zastąpiliśmy funkcję prostokątną w dziedzinie częstotliwości, która pozostawiła pasmo podstawowe całkowicie nietknięta i usunęła wszystkie kopie widma wyższej częstotliwości, zwane obrazami , z transformacją Fouriera funkcji . To jest oczywiście $\eqref{discreteft}$ $1/T \mathrm{rect}(t/T)$

s ja n do (fa / {fa}_{s}) .

$\mathrm{sinc}(f/f_s).$

Zauważ, że logika jest nieco odwrócona od idealnego przypadku: tam zdefiniowaliśmy nasz cel, którym było usunięcie obrazów w dziedzinie częstotliwości i wyprowadziliśmy konsekwencje w dziedzinie czasu. Tutaj zdefiniowaliśmy sposób rekonstrukcji w dziedzinie czasu (ponieważ to wiemy, jak to zrobić) i wyprowadziliśmy konsekwencje w dziedzinie częstotliwości.

Tak więc wynikiem blokady zerowego rzędu jest to, że zamiast prostokątnego okienkowania w dziedzinie częstotliwości, otrzymujemy sinc jako funkcję okienkowania. W związku z tym:

Pasmo przenoszenia nie jest już ograniczone pasmem. Raczej zanika jako , przy czym górne częstotliwości są obrazami oryginalnego sygnału $1/f$
w paśmie podstawowym odpowiedź już znacznie spada, osiągając około -4 dB przy $1/2 f_s$

Ogólnie rzecz biorąc, blokada zerowego rzędu jest używana do aproksymacji funkcji cynkowania w dziedzinie czasu pojawiającej się we wzorze interpolacji Whittakera-Shannona . Podczas próbkowania podobnie wyglądająca próbka i zatrzymanie jest technicznym rozwiązaniem problemu oszacowania chwilowej wartości sygnału i sama w sobie nie powoduje żadnych błędów.

Zauważ, że podczas rekonstrukcji nie tracimy też żadnych informacji, ponieważ zawsze możemy odfiltrować obrazy o wysokiej częstotliwości po początkowym wstrzymaniu zerowego rzędu. Utratę wzmocnienia można również skompensować odwrotnym filtrem cynkowym, przed lub po przetworniku cyfrowo-analogowym. Tak więc z bardziej praktycznego punktu widzenia blokada zerowego rzędu jest używana do skonstruowania wstępnego możliwego do wdrożenia przybliżenia idealnej rekonstrukcji, którą można w razie potrzeby dodatkowo ulepszyć.

— Timo
źródło

to interesujące Timo. napotykasz konsekwencje polityki Wikipedii. sprawdź starszą wersję artykułu z Wikipedii na temat twierdzenia o próbkowaniu . zamiast ukrywać się za formułą sumowania Poissona, pokazuje tylko, w jaki sposób próbkowanie generuje obrazy i wyraźnie to, co jest wymagane do odzyskania oryginalnego sygnału ciągłego. i można zobaczyć, dlaczego w funkcji próbkowania występuje ten współczynnik

T

$T$

— Robert Bristol-Johnnson

Interesujące jest to, że stara wersja artykułu z Wikipedii jest rzeczywiście jaśniejsza, również moim zdaniem. Obliczenia są prawie dokładnie takie, jakie piszę powyżej, z tym wyjątkiem, że zawierają nieco więcej szczegółów.

— Timo,

W każdym razie nie jestem całkiem pewien, dlaczego jest to konieczne, aby zrozumieć, dlaczego czynnik jest potrzebny: myślę, że to, co piszę w odpowiedzi, jest warunkiem wystarczającym, aby był konieczny (technicznie warunek spójności, ale my już zakładam, że rekonstrukcja jest możliwa). Oczywiście zrozumienie jest zawsze kwestią subiektywną. Na przykład tutaj można uznać za głębszy powód pojawienia się czynnika że zasadniczo staje się miarą całkowania gdy przyjmuje się granicę prawo .

T

$T$

T

$T$

T

$T$

T

$T$

d t

$\mathrm{d}t$

T \to 0

$T \rightarrow 0$

— Timo,

Przypuszczam, że to, o czym mówisz, to dlaczego pojawienie się 1 / T w przedstawieniu grzebienia Dirac jako suma złożonych wykładników w en.wikipedia.org/w/… ? Który jest oczywiście jednym ze sposobów na wyrażenie tego i całkiem bezpośrednio związany z rolą jako miary.

T

$T$

— Timo,

Nie mogę nic poradzić, ale myślę, że powinieneś po prostu dodać odpowiedź, której szukasz. Komentarze nie są przeznaczone do rozszerzonej dyskusji.

— David

Wstrzymanie rzędu zerowego ma na celu przybliżenie funkcji delta i pojawiających się w twierdzeniu o próbkowaniu, w zależności od tego, co jest odpowiednie. $\mathrm{sinc}$

Dla jasności rozważam układ ADC / DAC z sygnałem napięciowym. Wszystkie poniższe zasady dotyczą każdego układu próbkowania z odpowiednią zmianą jednostek. Zakładam również, że sygnał wejściowy został już magicznie ograniczony w celu spełnienia kryterium Nyquista.

Zacznij od próbkowania: najlepiej byłoby próbkować wartość sygnału wejściowego w jednej chwili. Ponieważ rzeczywiste przetworniki ADC potrzebują skończonej ilości czasu, aby sformułować swoje przybliżenie, chwilowe napięcie jest aproksymowane przez próbkę i trzymanie (chwilowe przybliżenie przez czas przełączania wykorzystywany do ładowania kondensatora). Zasadniczo wstrzymanie przekształca problem zastosowania delty funkcjonalnej do sygnału na problem pomiaru stałego napięcia.

Należy zauważyć, że różnica między sygnałem wejściowym pomnożonym przez ciąg impulsów lub wstrzymaniem rzędu zerowego stosowanym w tych samych chwilach jest jedynie kwestią interpretacji, ponieważ ADC zachowa jednak tylko chwilowe utrzymywane napięcia. Jeden można zrekonstruować z drugiego. Na potrzeby tej odpowiedzi przyjmuję interpretację, że próbkowany sygnał jest sygnałem w czasie ciągłym w postaci gdzie to napięcie odniesienia ADC / DAC, to liczba bitów, to próbki reprezentowane w zwykły sposób jako liczby całkowite, a

x (t) = \frac{Δ t {V.}_{r mi fa}}{{2)}^{n}} \sum_{k} x_{k} δ (t - k Δ t),

$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$

V_{r e f}

$V_\mathrm{ref}$

n

$n$

x_{k}

$x_k$

Δ t

$\Delta t$ to okres pobierania próbek. Ta nieco niekonwencjonalna interpretacja ma tę zaletę, że cały czas rozważam sygnał ciągłego czasu, a próbkowanie tutaj oznacza po prostu reprezentowanie go w kategoriach liczb , które w rzeczywistości są próbkami w zwykłym znaczeniu.

x_{k}

$x_k$

W tej interpretacji widmo sygnału w paśmie podstawowym jest dokładnie takie samo jak widmo sygnału pierwotnego, a skuteczne splot przez ciąg impulsów powoduje replikację tego sygnału, tak aby widmo było okresowe. Repliki nazywane są obrazami widma. To, że współczynnik normalizacji jest konieczny, można zobaczyć na przykład, biorąc pod uwagę przesunięcie DC impulsu o napięciu 1 wolta o czasie trwania : jego przesunięcie DC zdefiniowane jako składnik transformaty Fouriera wynosi Aby uzyskać ten sam wynik z naszej próbkowanej wersji, musimy rzeczywiście uwzględnić współczynnik . * $\Delta t$ $\Delta t$ $f = 0$

\hat{x} (0) = \int_{0}^{Δ t} 1 V. re t = 1 V. Δ t .

$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$

Δ t

$\Delta t$

Idealna rekonstrukcja oznacza zatem konstruowanie sygnału elektrycznego, który ma takie samo widmo pasma podstawowego jak ten sygnał i nie ma komponentów o częstotliwościach poza tym zakresem. Jest to to samo, co zwoływanie ciągu impulsów z odpowiednią . Jest to dość trudne do zrobienia elektronicznie, więc jest często aproksymowany funkcją prostokątną, wstrzymaniem zerowego rzędu AKA. Zasadniczo w każdej funkcji delta wartość próbki jest utrzymywana przez czas trwania okresu próbkowania. $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$

Aby zobaczyć, jakie to ma konsekwencje dla zrekonstruowanego sygnału, zauważam, że ładunek jest dokładnie równoważny zwojeniu ciągu impulsów funkcją prostokątną Normalizacja tej prostokątnej funkcji jest zdefiniowana przez wymaganie, aby stałe napięcie było poprawnie odtworzone, lub innymi słowy, jeśli napięcie zostało zmierzone podczas próbkowania, to samo napięcie jest wyprowadzane po rekonstrukcji.

{r mi do t}_{Δ t} (t) = \frac{1}{Δ t} r mi do t (\frac{t}{Δ t}) .

$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$

V_{1}

$V_1$

W dziedzinie częstotliwości sprowadza się to do pomnożenia odpowiedzi częstotliwościowej przez transformatę Fouriera funkcji prostokątnej, czyli Zauważ, że wzmocnienie przy DC wynosi . Przy wysokich częstotliwościach rozpada się jak , a zatem tłumi obrazy widma.

{\hat{r mi do t}}_{Δ t} (fa) = s ja n do (π Δ t fa) .

$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$

1

$1$

s i n c

$\mathrm{sinc}$

1 / f

$1/f$

Na koniec funkcja wynikająca z blokady zerowego rzędu zachowuje się jak filtr dolnoprzepustowy sygnału. Zauważ, że żadna informacja nie jest tracona w fazie próbkowania (przy założeniu kryterium Nyquista) i zasadniczo nic nie jest tracone podczas rekonstrukcji: filtrowanie w paśmie podstawowym przez może być kompensowane przez filtr odwrotny (i jest to rzeczywiście czasem robione, patrz na przykład https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853 ). Skromny zaniku zwykle wymaga jakiejś formy filtrowania w celu dalszego osłabienia obrazów. $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$ $-6\mathrm{dB/octave}$ $\mathrm{sinc}$

Należy również zauważyć, że wyimaginowany generator impulsów, który mógłby fizycznie odtworzyć ciąg impulsów zastosowany w analizie, wytworzyłby nieskończoną ilość energii podczas rekonstrukcji obrazów. Spowodowałoby to również pewne owłosione efekty, takie jak to, że ADC ponownie próbkujący wyjście nie zobaczyłby niczego, chyba że byłby doskonale zsynchronizowany z oryginalnym systemem (przeważnie próbkowałby między impulsami). Pokazuje to wyraźnie, że nawet jeśli nie możemy dokładnie ograniczyć sygnału wyjściowego, zawsze potrzebne jest przybliżone ograniczenie częstotliwości, aby uregulować całkowitą energię sygnału, zanim będzie on mógł zostać przekształcony w fizyczną reprezentację.

Podsumowując:

w obu kierunkach blokada zerowego rzędu działa jako przybliżenie funkcji delta lub jej ograniczonej pasmowo funkcji . $\mathrm{sinc}$
z punktu widzenia dziedziny częstotliwości jest to przybliżenie do filtru brickwall, który usuwa obrazy, a zatem reguluje nieskończoną ilość energii obecnej w wyidealizowanym ciągu impulsów.

* Wynika to również z analizy wymiarowej: jednostkami transformacji Fouriera sygnału napięciowego są: podczas gdy funkcja delta ma jednostki , co anulowałoby jednostkę czasu pochodzącą od całki w transformacji. $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ $1/\mathrm{s}$

— Timo
źródło

kiedy timer mi na to pozwoli, naliczę za to nagrodę, Timo. są pewne rzeczy, które lubię: np. posiadanie wzmocnienia DC = 1, co jest zgodne z równaniem. 1 na maksyma cytowania, ale sposób zbyt wiele podręczników wkręcić go z zyskiem , które nie wiedzą, co robić. i wydaje się, że rozumiesz, że ZOH nie ma nic wspólnego z żadnym możliwym S / H na wejściu ADC. Dobre. wciąż będę czekał na nieco bardziej rygorystyczną odpowiedź. i nie martw się o . zakładam, że to samo dla ADC i DAC.

T

$T$

V_{ref}

$V_\text{ref}$

— Robert Bristol-Johnson

@ robertbristow-johnson: dzięki za miłe słowa! Czy możesz sprecyzować, w jakim kierunku szukasz większej dyscypliny? Więcej szczegółów, więcej odpowiedzi na pytania matematyczne lub coś zupełnie innego?

— Timo,

Chyba matematyczne traktowanie z czystym i spójnym zapisem matematycznym. sugerowałbym być zgodny z Oppenheimem i Wilskim lub coś takiego. być może, aby transformaty Laplace'a i Fouriera miały spójną i zgodną notację . przedyskutuj to, co mówi twierdzenie o pobieraniu próbek i jak różni się ono w rzeczywistości i gdzie pojawia się ZOH.

T. ≜ \frac{1}{{fa}_{s}}

$T \triangleq \frac{1}{f_\text{s}}$

x [n] ≜ x (n T.)

$x[n] \triangleq x(nT)$

fa {x (t)} = X (jot 2) π fa) ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) {mi}^{- jot 2) π fa t} re t

$\mathcal{F}\{x(t)\} = X(j2\pi f) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \ dt$

— Robert Bristol-Johnson

Ok, pozwól mi spróbować napisać inną odpowiedź, ponieważ edytowanie tego w celu zmiany notacji na preferowaną itp. Prawdopodobnie pozostawiłoby trochę bałaganu. Najpierw naprawię mały błąd, ponieważ przeszkadza mi to ...

— Timo,

byłem trochę zdezorientowany i powolny w losowaniu i nie uderzyłem w ikonę nagrody, aby przyznać nagrodę. zgodnie z zasadami: Jeśli nie przyznasz nagrody w ciągu 7 dni (plus okres karencji), najwyższa głosowana odpowiedź utworzona po rozpoczęciu nagrody z minimalnym wynikiem 2 otrzyma połowę kwoty nagrody. Jeśli dwie lub więcej kwalifikujących się odpowiedzi mają ten sam wynik (tzn. Ich wyniki są remisowane), najstarsza odpowiedź zostanie nagrodzona. Jeśli nie ma odpowiedzi spełniającej te kryteria, nagroda nie jest przyznawana nikomu. - zgodnie z tymi zasadami powinieneś otrzymać go w ciągu tygodnia.

— Robert Bristol-Johnnson

Transformacja Fouriera :

X (jot 2) π fa) = fa {x (t)} ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) {mi}^{- jot 2) π fa t} re t

$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$

Odwrotna transformata Fouriera:

x (t) = {fa}^{- 1} {X (jot 2) π fa)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (jot 2) π fa) {mi}^{jot 2) π fa t} re fa

$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$

Funkcja impulsu prostokątnego :

rect (u) ≜ {\begin{cases} 0 & gdyby | u | > \frac{1}{2)} \\ 1 & gdyby | u | < \frac{1}{2)} \end{cases}

$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

Funkcja „Sinc” („sinus cardinalis”) : nazwa

sinc (v) ≜ {\begin{cases} 1 & gdyby v = 0 \\ \frac{grzech (π v)}{π v} & gdyby v \neq 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$

Określić częstotliwość próbkowania , jako odwrotność okresu próbkowania . $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ $T$

Zauważ, że:

fa {rect (\frac{t}{T.})} = T. sinc (fa T.) = \frac{1}{{fa}_{s}} sinc (\frac{fa}{{fa}_{s}})

$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

Grzebień Diraca (alias „funkcja próbkowania” alias „funkcja Sha”) :

{III}_{T.} (t) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T.)

$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$

Funkcja grzebieniowa jest okresowa o okresie . Seria Fouriera : $T$

{III}_{T.} (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T.} {mi}^{jot 2) π k {fa}_{s} t}

$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$

Próbkowany sygnał ciągły :

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot (T. \cdot {III}_{T.} (t)) \\ = x (t) \cdot (T. \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T.)) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) δ (t - n T.) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T.) δ (t - n T.) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T.) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$

gdzie . $x[n] \triangleq x(nT)$

Oznacza to, że jest zdefiniowany wyłącznie przez próbki i okres próbkowania i całkowicie traci wszelkie informacje o wartości dla czasów pomiędzy instancjami próbkowania. jest dyskretną sekwencją liczb i jest swego rodzaju skrótem DSP dla . Chociaż prawdą jest, że dla , wartość dla dowolnego nie będącego liczbą całkowitą jest niezdefiniowana. $x_\text{s}(t)$ $x[n]$ $T$ $x(t)$ $x[n]$ $x_n$ $x_\text{s}(t) = 0$ $nT < t < (n+1)T$ $x[n]$ $n$

Uwaga: Dyskretny sygnał i wszystkie operacje dyskretnych na nim, tak jak -Transform The dyskretnych transformacji Fouriera (DTFT) The dyskretna transformata Fouriera (DFT) , są "niezależne od" dotyczące częstotliwości próbkowania lub okres próbkowania . Gdy jesteś w dyskretnym w czasie domeny, nie wiesz (lub opieki) o . Jest to tylko z Nyąuista-Shannona próbkowania i przebudowa twierdzenia , że i są połączone. $x[n]$ $\mathcal{Z}$ $T$ $x[n]$ $T$ $x[n]$ $T$

Przekształcenie Fouriera to $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (jot 2) π fa) ≜ fa {x_{s} (t)} & = fa {x (t) \cdot (T. \cdot {III}_{T.} (t))} \\ = fa {x (t) \cdot (T. \cdot \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T.} {mi}^{jot 2) π k {fa}_{s} t})} \\ = fa {\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) {mi}^{jot 2) π k {fa}_{s} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} fa {x (t) {mi}^{jot 2) π k {fa}_{s} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (jot 2) π (fa - k {fa}_{s})) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$

Ważna uwaga na temat skalowania: Funkcja próbkowania i próbkowany sygnał ma współczynnik , którego nie zobaczysz w prawie wszystkich podręcznikach. Jest to błąd pedagogiczny autorów tych podręczników z wielu (powiązanych) powodów: $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ $x_\text{s}(t)$ $T$

Po pierwsze, pominięcie zmienia wymiar próbkowanego sygnału od wymiaru próbkowanego sygnału . $T$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$
Ten współczynnik będzie potrzebny gdzieś w łańcuchu sygnałowym. Te podręczniki, które wyłączają go z funkcji próbkowania, kończą umieszczanie go w części twierdzenia o próbce dotyczącej rekonstrukcji, zwykle jako wzmocnienie pasma przepustowego filtra rekonstrukcji. To jest mylące wymiarowo. Ktoś może racjonalnie zapytać: „Jak zaprojektować LPF typu brickwall z przyrostem pasma przepustowego ?” $T$ $T$
Jak zostanie pokazane poniżej, pozostawienie tutaj powoduje podobny błąd skalowania dla funkcji przenoszenia netto i odpowiedzi częstotliwościowej netto dla Zero-rzędu Hold (ZOH). Wszystkie podręczniki dotyczące cyfrowych (i hybrydowych) systemów sterowania, które widziałem, popełniają ten błąd i jest to poważny błąd pedagogiczny. $T$

Zauważ, że DTFT i transformata Fouriera próbkowanego sygnału są, przy odpowiednim skalowaniu, praktycznie identyczne: $x[n]$ $x_\text{s}(t)$

DTFT:

\begin{aligned} X_{re T. fa T.} (ω) & ≜ Z {x [n]} |_{z = {mi}^{jot ω}} \\ = X_{Z} ({mi}^{jot ω}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] {mi}^{- jot ω n} \end{aligned}

$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$

Można to pokazać

X_{re T. fa T.} (ω) = X_{Z} ({mi}^{jot ω}) = \frac{1}{T.} X_{s} (jot 2) π fa) |_{fa = \frac{ω}{2) π T.}}

$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$

Powyższa matematyka jest prawdą, niezależnie od tego, czy jest „odpowiednio próbkowany”, czy nie. jest „właściwie próbkowany”, jeżeli można w pełni odzyskać z próbek i znajomość częstotliwości próbkowania lub okresu próbkowania. Pobieranie próbek Twierdzenie mówi, jaka jest konieczna do odzyskania lub odtworzyć z i . $x(t)$ $x(t)$ $x(t)$ $x[n]$ $x(t)$ $x[n]$ $T$

Jeśli jest ograniczone do pewnego pasma , to znaczy $x(t)$ $B$

X (jot 2) π fa) = 0 dla wszystkich | fa | > b

$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$

Rozważ spektrum próbkowanego sygnału złożonego z przesuniętych obrazów oryginału:

X_{s} (jot 2) π fa) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (jot 2) π (fa - k {fa}_{s}))

$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$

Oryginalne widmo można odzyskać z próbkowanego widma jeśli żaden z przesuniętych obrazów, , nakładają się na sąsiadujących sąsiadów. Oznacza to, że prawa krawędź -tego obrazu (czyli ) musi znajdować się całkowicie po lewej stronie lewej krawędzi ( ) -ty obraz (czyli ). Przekształcone matematycznie, $X(j 2 \pi f)$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k+1$ $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$

k {fa}_{s} + b < (k + 1) {fa}_{s} - b

$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$

co jest równoważne z

{fa}_{s} > 2) b

$f_\text{s} > 2B$

Jeśli próbkujemy z częstotliwością próbkowania przekraczającą dwukrotność szerokości pasma, żaden z obrazów nie nakłada się, oryginalne widmo , czyli obraz, w którym można wyodrębnić z z filtrem dolnoprzepustowym typu brickwall, który utrzymuje oryginalny obraz (gdzie ) nieskalowany i odrzuca wszystkie pozostałe obrazy. Oznacza to, że mnoży oryginalny obraz przez 1 i mnoży wszystkie pozostałe obrazy przez 0. $X(j 2 \pi f)$ $k=0$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $k=0$

\begin{aligned} X (jot 2) π fa) & = rect (\frac{fa}{{fa}_{s}}) \cdot X_{s} (jot 2) π fa) \\ = H. (jot 2) π fa) X_{s} (jot 2) π fa) \end{aligned}

$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$

Filtr rekonstrukcja jest

H. (jot 2) π fa) = rect (\frac{fa}{{fa}_{s}})

$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

i ma acausalną odpowiedź impulsową :

h (t) = {fa}^{- 1} {H. (jot 2) π fa)} = {fa}_{s} sinc ({fa}_{s} t)

$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$

Ta operacja filtrowania, wyrażona jako mnożenie w dziedzinie częstotliwości, jest równoważna splotowi w dziedzinie czasu:

\begin{aligned} x (t) & = h (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h (t) ⊛ T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T.) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h (t) ⊛ δ (t - n T.)) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h (t - n T.)) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] ({fa}_{s} sinc ({fa}_{s} (t - n T.))) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc ({fa}_{s} (t - n T.)) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{t - n T.}{T.}) \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$

To wyraźnie określa, w jaki sposób pierwotna jest rekonstruowana z próbek oraz znajomość częstotliwości próbkowania lub okresu próbkowania. $x(t)$ $x[n]$

Zatem to, co jest wyprowadzane z praktycznego przetwornika cyfrowo-analogowego (DAC), nie jest takie

\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{t - n T.}{T.})

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$

który nie wymaga dodatkowego leczenia w celu odzyskania , ani $x(t)$

x_{s} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] T. δ (t - n T.)

$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$

który przy idealnym brickwall LPF odzyskuje , izolując i zachowując obraz pasma podstawowego i odrzucając wszystkie inne obrazy. $x(t)$

To, co wychodzi z konwencjonalnego przetwornika cyfrowo-analogowego, jeśli nie jest przetwarzane ani skalowane do zdigitalizowanego sygnału, to wartość utrzymywana na stałej wartości do czasu, aż zostanie wysłana następna próbka. Powoduje to funkcję częściowo-stałą : $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T. - \frac{T.}{2)}}{T.})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Zwróć uwagę na opóźnienie okresu próbkowania zastosowane do funkcji . To sprawia, że jest to przyczynowe. Oznacza to po prostu, że $\frac{1}{2}$ $\operatorname{rect}(\cdot)$

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T.) gdy n T. \leq t < (n + 1) T.

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$

Stwierdzono inaczej

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T.) dla n = piętro (\frac{t}{T.})

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$

gdzie nazwa jest funkcją floor , zdefiniowaną jako największa liczba całkowita nieprzekraczająca . $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ $u$

To wyjście przetwornika cyfrowo-analogowego jest bezpośrednio modelowane jako liniowy system niezmienny w czasie (LTI) lub filtr, który przyjmuje idealnie próbkowany sygnał i dla każdego impulsu w idealnie próbkowanym sygnale wysyła następującą odpowiedź impulsową: $x_\text{s}(t)$

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T.} rect (\frac{t - \frac{T.}{2)}}{T.})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Podłączanie, aby to sprawdzić ...

\begin{aligned} x_{DAC} (t) & = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h_{ZOH} (t) ⊛ T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T.) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h_{ZOH} (t) ⊛ δ (t - n T.)) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h_{ZOH} (t - n T.)) \\ = T. \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \frac{1}{T.} rect (\frac{t - n T. - \frac{T.}{2)}}{T.}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T. - \frac{T.}{2)}}{T.}) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$

Wyjście DAC , ponieważ dane wyjściowe systemu LTI z odpowiedzią impulsową zgadzają się z powyższą częściowo stałą konstrukcją. A wejściem do tego systemu LTI jest próbkowany sygnał rozsądnie skalowany, tak że obraz pasma podstawowego jest dokładnie taki sam jak spektrum oryginalnego próbkowanego sygnału . To jest $x_\text{DAC}(t)$ $h_\text{ZOH}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$

X (jot 2) π fa) = X_{s} (jot 2) π fa) dla - \frac{{fa}_{s}}{2)} < fa < + \frac{{fa}_{s}}{2)}

$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$

Oryginalne widmo sygnału jest takie samo jak widmo próbkowane, ale wszystkie obrazy, które pojawiły się w wyniku próbkowania, zostały odrzucone.

Funkcją przenoszenia tego systemu LTI, którą nazywamy wstrzymaniem rzędu zerowego (ZOH) , jest transformata Laplace'a odpowiedzi impulsowej:

\begin{aligned} {H.}_{ZOH} (s) & = L. {h_{ZOH} (t)} \\ ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} h_{ZOH} (t) {mi}^{- s t} re t \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T.} rect (\frac{t - \frac{T.}{2)}}{T.}) {mi}^{- s t} re t \\ = \int_{0}^{T.} \frac{1}{T.} {mi}^{- s t} re t \\ = \frac{1}{T.} \frac{1}{- s} {mi}^{- s t} |_{0}^{T.} \\ = \frac{1 - {mi}^{- s T.}}{s T.} \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$

Pasmo przenoszenia uzyskuje się przez podstawienie $j 2 \pi f \rightarrow s$

\begin{aligned} {H.}_{ZOH} (jot 2) π fa) & = \frac{1 - {mi}^{- jot 2) π fa T.}}{jot 2) π fa T.} \\ = {mi}^{- jot π fa T.} \frac{{mi}^{jot π fa T.} - {mi}^{- jot π fa T.}}{jot 2) π fa T.} \\ = {mi}^{- jot π fa T.} \frac{grzech (π fa T.)}{π fa T.} \\ = {mi}^{- jot π fa T.} sinc (fa T.) \\ = {mi}^{- jot π fa T.} sinc (\frac{fa}{{fa}_{s}}) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$

Wskazuje to na liniowy filtr fazowy o stałym opóźnieniu wynoszącym połowę okresu próbkowania , o wzmocnieniu malejącym wraz ze wzrostem częstotliwości . Jest to łagodny efekt filtra dolnoprzepustowego. Przy DC, , wzmocnienie wynosi 0 dB, a przy Nyquist, wzmocnienie wynosi -3,9224 dB. Tak więc obraz pasma podstawowego nieco się zmniejszył. $\frac{T}{2}$ $f$ $f=0$ $f=\frac{f_\text{s}}{2}$

Podobnie jak w przypadku próbkowanego sygnału , w próbkowanym sygnale są obrazy w całkowitych częstotliwości próbkowania, ale te obrazy mają znacznie zmniejszoną amplitudę (w porównaniu do obraz pasma podstawowego), ponieważprzechodzi przez zero, gdy dla liczby całkowitej która nie jest równa 0, co znajduje się dokładnie pośrodku tych obrazów. $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$ $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ $f = k\cdot f_\text{s}$ $k$

Podsumowując:

Wstrzymanie zerowego rzędu (ZOH) jest liniowym niezmiennym w czasie modelem rekonstrukcji sygnału wykonanym przez praktyczny przetwornik cyfrowo-analogowy (DAC), który utrzymuje stałą wyjściową przy wartości próbki , dopóki nie zostanie zaktualizowany przez następna próbka . $x[n]$ $x[n+1]$
W przeciwieństwie do powszechnego nieporozumienia, ZOH nie ma nic wspólnego z układem próbkowania i trzymania (S / H), który można znaleźć przed przetwornikiem analogowo-cyfrowym (ADC) . Tak długo, jak DAC utrzymuje wyjściową wartość na stałym poziomie w każdym okresie próbkowania, nie ma znaczenia, czy ADC ma S / H, czy nie, efekt ZOH pozostaje. Jeśli przetwornik cyfrowo-analogowy wyprowadza coś innego niż wyjściowo stały wynik (na przykład ciąg wąskich impulsów mający na celu przybliżenie impulsów diraca) przedstawiony powyżej jako , wówczas efekt ZOH nie występuje (coś innego , zamiast tego) czy istnieje obwód S / H poprzedzający ADC, czy nie. $x_\text{DAC}(t)$
Funkcja transferu netto ZOH to a odpowiedź częstotliwościowa netto ZOH to Wiele podręczników współczynnik w mianowniku funkcji przenoszenia i jest to błąd.
${H.}_{ZOH} (s) = \frac{1 - {mi}^{- s T.}}{s T.}$ $H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$ ${H.}_{ZOH} (jot 2) π fa) = {mi}^{- jot π fa T.} sinc (fa T.)$ $H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$ $T$
ZOH znacznie zmniejsza obrazy próbkowanego sygnału , ale ich nie eliminuje. Aby wyeliminować obrazy, potrzebny jest dobry filtr dolnoprzepustowy, jak poprzednio. LPF Brickwall to idealizacja. Praktyczny LPF może również osłabiać obraz pasma podstawowego (który chcemy zachować) na wysokich częstotliwościach, a tłumienie to należy uwzględnić, tak jak tłumienie wynikające z ZOH (tłumienie mniejsze niż 3,9224 dB). ZOH opóźnia również sygnał o połowę okresu próbkowania, co może wymagać wzięcia pod uwagę (wraz z opóźnieniem LPF antyobrazowania), szczególnie jeśli ZOH znajduje się w pętli sprzężenia zwrotnego. $x_\text{s}(t)$

— Robert Bristol-Johnson
źródło

Przyznaję, że twoja odpowiedź jest czystsza i trochę dokładniejsza niż moja. Nadal zastanawiałem się, co to za wielkie odkrycie? Może chciałeś podkreślić trzymanie zerowego rzędu jako model wyjścia DAC?

— Timo,

twoja odpowiedź zawiera pewne błędy. na przykład nie pokazuje opóźnienia próbki 1/2 w odpowiedzi częstotliwościowej. przepraszam, że tak się stało, że nasza nagroda (która była moja i powinna być teraz twoja ) poszła do toalety.

— Robert Bristol-Johnnson

Cóż, wspominam o tym (w dłuższym), chociaż szczotkuję następnie pod dywan, co myślę, że zrobiłem, ponieważ głównie myślę o DSP w kategoriach audio, gdzie opóźnienie 1/2 próbki jest nieznaczne (chyba że istnieje inna ścieżka, która wprowadza nieopóźnioną kopię). Zasadniczo nie chciałem przenosić współczynnika do samego końca, więc jest to część tego, co mówię, że jesteś bardziej dokładny.

e^{- i π f T}

$e^{-i \pi f T}$

— Timo,

@ Timo, teraz masz dwa razy więcej przedstawicieli niż ja. kiedy zamieścisz nagrodę, w której mogę zrobić dźgnięcie ?? :-)

— Robert Bristol-Johnnson

W porządku, powinienem spróbować coś wymyślić: D

— Timo,

Jaka jest dokładnie rola wstrzymania zerowego rzędu w hybrydowym analogowo / cyfrowym systemie próbkowanych danych?

Ustawiać

Idealne pobieranie próbek i rekonstrukcja

Nieidealne pobieranie próbek

Niezbyt idealna rekonstrukcja

Wstrzymanie rzędu zerowego ma na celu przybliżenie funkcji delta i pojawiających się w twierdzeniu o próbkowaniu, w zależności od tego, co jest odpowiednie.y : i n csjando\mathrm{sinc}

Podsumowując:

Wstrzymanie rzędu zerowego ma na celu przybliżenie funkcji delta i pojawiających się w twierdzeniu o próbkowaniu, w zależności od tego, co jest odpowiednie. $\mathrm{sinc}$