Dlaczego całka wynosi zero

9

Zastanawiam się, dlaczego przy założeniu, że $\omega \gg \frac{1}{T}$ następnie $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$ ?

Ponieważ całka powinna być jak $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ od $0$ do $T$ a po podłączeniu wartościowego otrzymamy:

\frac{- sałata (ω T.) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— użytkownik59419
źródło

9

Głosuję za zamknięciem tego pytania jako nie na temat, ponieważ nie dotyczy ono elektroniki i jest pytaniem czysto matematycznym, a zatem powinno należeć do math.stackexchange.com

— efox29

4

Absolutnie nie. Oszacowanie to jest stosowane we wszystkich systemach komunikacyjnych i nie jest czystym pytaniem matematycznym, ponieważ pod względem matematycznym tylko ta całka nie zawsze jest zerowa

— 59419

Czy masz na myśli

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$ ?

— Chu,

Nie, nie ma

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$ . Gdyby

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$ jest obecny, ma sens i widziałem go w różnych miejscach.

— user59419,

6

Jeśli mówisz o telekomunikacji, zakładam, że mówimy o wysokich częstotliwościach. Jeśli tak jest:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ waha się od $0$ do $+2$ , jeśli podzielisz to przez dużą liczbę, otrzymasz w przybliżeniu zero.
Aby dać ci pomysł: na częstotliwość wokół $1\;\text{kHz}$ (co jest uważane za „ultra low” ), wynik będzie AT MAKSYMALNY $0.002$ .

— FMarazzi
źródło

3

Znacznie lepsze wytłumaczenie niż moje brutalne podejście.

— Arsenał

1

Nie sądzę, że jest to pełna odpowiedź: jest to możliwe nawet dla małych wartości

ω

$\omega$ zaspokoić

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$ , gdyby

T

$T$ jest wystarczająco duży.

— Ilmari Karonen,

1

@IlmariKaronen T nigdy nie jest wystarczająco duży w telekomunikacji.

— FMarazzi,

4

Zwiększając częstotliwość, wydłużamy okresy oscylacji w interwale całkowania.

Ponieważ całka sinusoidy w jednym okresie wynosi zero, powinniśmy brać pod uwagę „niepełny” okres na końcu przedziału całkowania.

Kiedy zwiększamy częstotliwość, obszar tego niepełnego okresu staje się coraz cieńszy (wyjaśniając $\omega$ w wyznaczniku).

— walljam7
źródło

3

Po podłączeniu niektórych wartości otrzymam następujące informacje:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ wynik

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Teraz nie jestem pewien, który rząd wielkości $>>$ oznacza i jak mały wynik należy wziąć pod uwagę $\approx 0$ , ale ma tendencję do zerowania, jeśli jest znacznie większy.

Jakie są typowe wartości $\omega$ a ty patrzysz?

Aktualizacja (z powodu komentarzy):

Jak FMarazzi wyjaśnił całkiem dobrze, istnieje górna granica dla tej sprawy $\cos(\omega T)$ wynosi -1, więc będziesz mieć $\frac{2}{\omega}$ , co jest absolutnym maksimum, jakie kiedykolwiek otrzymasz za dowolny T.

Więc jeśli wybierzesz wartość dla T, w taki sposób uzyskasz maksimum dla danej $\omega$ stół zamienia się w:

$\omega \rightarrow$ maksymalna możliwa wartość

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

I tak dalej. Nie wiem, w jakim kontekście stosuje się aproksymację, ale jak wskazano w komentarzach, dotyczy to systemów komunikacyjnych i domyślam się, że nie chodzi tu o jakiś UART przy 9600 bodów, ale coś w rodzaju Ethernetu lub szybszych rzeczy, więc $\omega$ jest w kolejności $10^7$ or higher, for which the result of the integral gets small and probably doesn't contribute to the other terms of interest.

— Arsenal
źródło

Thanks. Your question definitely makes sense and that's exactly my problem because range of T and w is not given and only condition that wT>>1 is mentioned. I was thinking what if T=1000 and w=1 then the integral is not zero.

— user59419

If T is arbitrary, the area under sin(wt) will, generally, be non-zero. There must be another constraint.

— Chu

@Chu I'm not saying that it will be 0, it just tends to be very close to 0, so close that for practical purposes it can be neglected (this is a common simplification to make things solvable for humans). FMarazzi has actually given a better analysis of the upper bound of the result.

— Arsenal

1

@Arsenal, but you've assumed a value for T. There is no such specification in the original question - both w and T are free to wander. So the integral could be a long way from zero

— Chu

@Chu yeah that was a bit short-sighted in hindsight. I've updated my answer to make the point clear. It cannot be a long way from zero for higher omegas.

— Arsenal

0

In the equation as written a larger $\omega$ will result on average in a smaller value of the integral but a larger $T$ will not.

I suspect more context is needed to properly understand what is meant.

In particular we need to think about what exactly we mean by " $\approx 0$ ". " $\approx 0$ " should probablly be intepreted as "negligable" but what "negligable" means is highly dependent on context. If there is some related value that increases with increasing values of $T$ then it may be that the result of the integral when large $T$ is large but $\omega$ is small can still be considered negligable.

— Peter Green
źródło