Obliczyć minimalną liczbę rezystorów 120Ω, aby uzyskać rezystancję 80Ω?

28

Niedawno musiałem przetestować podstawową elektronikę. Nie dostałem jednego pytania, ale nie do końca rozumiem dlaczego.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Możliwe odpowiedzi na to pytanie to 2, 3, 4 and 6. Jedyną odpowiedzią, jaką mogę wymyślić, jest 6układ oporników ułożonych jak pokazano poniżej. Ale 6nie jest poprawna odpowiedź.

Pytanie:

Ile rezystorów jest wymaganych i aby je ustawić?

schematyczny

^{symulacja tego obwodu - Schemat utworzony za pomocą CircuitLab}

Znam tylko podstawy elektroniki, więc mam nadzieję, że moje myśli są prawidłowe.

resistors

— Marius Schär
źródło

10

@Autistic nie 120 i 120 w równoległych nie będzie 60?

— Marius Schär,

3

może Autistic jest artystyczne

— Marla

8

Liczba to trzy. Zmniejszenie kombinacji pozostawia się czytelnikowi jako ćwiczenie ... ale jest tylko tyle możliwości.

— Chris Stratton

2

Jest to rodzaj problemu, który może nas wszystkich pokonać. Czasami najprostsze rozwiązanie znajduje się przed nami. Zachęcam do takich pytań. Naprawdę lubię oglądać w wywiadzie tego typu pytania. Martin, nie czuj się źle. . Ja sam zagubiłem się na tym typie. Jesteśmy zamknięci na własne ograniczenia

— Marla

4

Miałem na myśli 120 równolegle z rezystorami 2 serii 120 omów.

— Autystyczny

39

120 || (120 + 120) Jeśli dwa 120 równolegle dają 60, chcesz, aby jedna z gałęzi była nieco wyższa, więc ... to kolejna rzecz do wypróbowania.

Metoda ta jest ogólnie słuszna w przypadku uzyskania rezystora o wartości 2/3 przy użyciu tylko tego samego pojemnika. I ogólnie, aby rozwiązać takie problemy, warto pamiętać, że rezystancja równoważna dwóch równoległych rezystorów jest mniejsza niż rezystancji którejkolwiek z gałęzi. Możesz także uzyskać 3/4 (czyli 90) na przykład, dodając jeszcze jeden do gałęzi.

NB: Dzięki pracy Massimo Ortolano wiem, że to, co zrobiłem powyżej, kierując się intuicją, polega na tym, że zasadniczo podążyłem ścieżką wyszukiwania wskazaną poniżej w drzewie Sterna – Brocota :

— Syczeć
źródło

Wow, dzięki za to! Byłoby bardzo użyteczne, gdyby nauczali tej prostej metody w klasie.

— Marius Schär,

10

Celem edukacji jest często inicjowanie odkryć, a nie po prostu mówienie ci rzeczy.

— Chris Stratton

3

Również codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

65

Bezpośrednie rozwiązanie można znaleźć poprzez zastosowanie ciągłych frakcji .

Jeśli masz 120 Ω, a chcesz 80 Ω, zapisz ułamek:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Ponieważ liczba całkowita jest równa zero, zaczniesz od umieszczenia rezystorów równolegle. Odwróć część ułamkową:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Oznacza to, że będziesz mieć 1 rezystor równolegle z pewną liczbą rezystorów w szeregu. Ponownie odwróć część ułamkową:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Oznacza to, że potrzebujesz 2 rezystorów w szeregu. Ponieważ w tym momencie nie ma części ułamkowej, gotowe.

Odpowiedź to w sumie 3 oporniki.

— Dave Tweed
źródło

15

Kombinacje rezystorów według ciągłych ułamków .... schludne.

— Jasen

1

Czy uważasz, że ten algorytm daje ogólnie minimalne rozwiązanie [w liczbie rezystorów]? Wygląda na to, że ostatnio opublikowano artykuł na ten temat, ale wydaje się, że jest to przegląd zorientowany na edukację. Nie widzę wzmianki o minimalności.

— Fizz,

2

Również math.stackexchange.com/questions/14645/… Pamiętaj, że zaakceptowana odpowiedź jest w rzeczywistości nieprawidłowa!

— Fizz

6

@RespawnedFluff: nie, ogólnie rzecz biorąc, nie daje minimalnego rozwiązania. Zastosowanie ciągłego rozszerzania frakcji daje rozwiązanie złożone tylko z kombinacji równoległych i szeregowych, ale ogólnie rozwiązania z mniejszą liczbą rezystorów można znaleźć, biorąc pod uwagę również rezystory połączone mostkowo. Można wykazać, że w przypadku sieci płaskich problem jest równoważny z wypełnianiem prostokątów kwadratami o liczbach całkowitych . Jeśli weźmie się pod uwagę także sieci niepłaskie, prawdopodobnie można znaleźć rozwiązania z jeszcze mniejszą liczbą elementów.

— Massimo Ortolano

3

W celu [lepszego] wyszukiwania słów kluczowych rozwiązanie wskazane przez Dave'a opiera się na aproksymacji drzewa rzeczywistego liczby Sterna – Brocota . Przekonałem się , czytając artykuł Massimo Ortolano , który , nawiasem mówiąc , jest również dostępny bezpłatnie na arxiv .

— Fizz

20

Możesz zmienić swoje rozwiązanie poprzez zamianę portu szeregowego i równoległego:

schematyczny

^{symulacja tego obwodu - Schemat utworzony za pomocą CircuitLab}

Następnie możesz zgrupować R2, R3, R5 i R6 w jedną grupę 2x2:

schematyczny

^{zasymuluj ten obwód}

A te 4 oporników tworzy pojedynczy opornik : $120\Omega$ $120\Omega$

schematyczny

^{zasymuluj ten obwód}

— maniak zapadkowy
źródło

1

Jest to to samo, co użytkownik92407 powiedział 3-godzinny Eariler, choć ze schematem.

— Dave Tweed

1

Niemniej jednak uważam ten dodatek za użyteczny; faktycznie korzysta z równoważnego problemu geometrycznego kafelkowania wskazanego przez Massimo Ortolano . Cztery rezystancje, które można wymienić, tworzą [większy] kwadrat.

— Fizz

7

Weź rozwiązanie, ale bez centralnego punktu pośrodku: możesz zmienić to na trzy równoległe sekcje o wartości 120 + 120 Ohm każdy (połączenie środkowych punktów nie robi różnicy, ponieważ wszystkie są pod tym samym napięciem). Teraz dwie z trzech równoległych sekcji 120 + 120 Ohm ponownie łączą się w 120 Ohm, więc możesz wymienić te 4 oporniki z dwóch równoległych grup na jeden, pozostawiając tylko jeden opornik 120 Ohm równolegle do 120 + 120 Ohm.

Istnieje mnóstwo rozwiązań, które potwierdzają poprawność tego rozwiązania, gdy już je masz. Ale to przegrupowanie pokazuje, jak go znaleźć bez powrotu do matematycznych prób i błędów.

— użytkownik92407
źródło

1

W rzeczywistości wiąże się to z próbami i błędami [ogólnie]. Nie ma znanego rozwiązania problemu minimalnego układania prostokąta za pomocą kwadratów całkowitych , który nie wymaga wyczerpującego wyszukiwania. Istnieją jednak pewne heurystyki, które przycinają drzewo rozwiązań, ale nie gwarantują minimalnego rozwiązania.

— Fizz

4

Opracowując odpowiedź @ RespawnedFluff, jednym ze sposobów na znalezienie tego jest myślenie w następujący sposób:

Jakie mam rezystory, ok 120.
Co muszę zrobić, 80
Jakie znamy równania? Cóż, dwa oporniki szeregowo lub równolegle są najprostszymi punktami wyjścia. Oczywiście seria nie pomaga natychmiast - to zwiększyłoby opór, a nie zmniejszyło go. Będziemy więc musieli spróbować równolegle. Znamy równania:

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Więc może zacznijmy od tego:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

Czy możesz znaleźć jakąś kombinację, która pasuje? Cóż, zacznij od a następnie sprawdź, jaka powinna być wartość . Czy możesz łatwo uczynić tę wartość? W tym przypadku tak, świetnie. $R_1=120$ $R_2$
W przypadku innych wartości, jeśli nie możesz uzyskać wartości natychmiast, być może trzeba spróbować zastosować to samo podejście jak powyżej iteracyjnie, aby znaleźć wartość dla . Jeśli to nie zadziała, możesz również spróbować zmienić - może dwa w szeregu lub równolegle, a następnie spróbuj ponownie dla . $R_2$ $R_1$ $R_2$

To podejście jest dość iteracyjne, ale w tym przypadku szybko znalazłoby zarówno odpowiedź, którą otrzymałeś (przy użyciu 6 rezystorów), jak i odpowiedź @RespawnedFluff (przy użyciu 3 rezystorów).

Jeśli próbujesz zwiększyć opór (tj. Wymagany opór jest większy niż dostępna wartość), zasadniczo robisz to samo, ale zaczynasz od większego dostępnego oporu lub dzielisz większy opór na kawałki szeregowe i rozwiązujesz je ( np. jeśli chcesz , możesz wybrać kawałek i ). $180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

Możesz się zastanawiać, w jaki sposób metoda dotarłaby do twojej odpowiedzi - biorąc pod uwagę, że twoja ma 3 równoległe gałęzie, podczas gdy w tym podejściu stosuje się dwie. Cóż, obliczając powyżej, iteracyjnie wprowadzilibyśmy jako gałąź równoległą, która topologicznie jest taka sama, jak gdyby na początku były 3 gałęzie. $R_2$ $R_2$

— Tom Carpenter
źródło

Poprawiłem moją odpowiedź. Całkowicie zepsułem moje wyjaśnienie.

— Tom Carpenter

Jeśli jedna gałąź rezystora jest ustalona, jest to łatwe do rozwiązania (lub ustalenia, że nie ma rozwiązania [liczba całkowita]). Nadal nie jestem pewien, jak rozwiązać nawet dwie gałęzie, nie mówiąc ogólnie. To bardziej skomplikowane równanie diofantyczne.

— Fizz

Problem jest prawdopodobnie kompletny jak NP w zakresie wyliczenia: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Podstawowa rezystancja szeregowa i rezystancja w logice równoległej. Bardzo prosty..

Wiemy, że moc wyjściowa wynosi 80 Ω, więc rozwiązanie problemu jest łatwe. Wypróbuj wzór na równoległy opór: Dlatego .. Tutaj wstaw .

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

Teraz, jak wiemy, mamy rezystory tylko 120 Ω. Umieść $R1 = 120\Omega$

Rozwiązywanie ... otrzymasz . $R2 = 240\Omega$

Ale nie możemy tutaj zastosować rezystora 240 Ω, ponieważ mówi się, że mamy tylko rezystory 120 Ω. Zamiast 240 Ω zastosujemy równolegle 120 Ω + 120 Ω (szeregowo) z pojedynczym rezystorem 120 Ω.

— Rohit Dani
źródło

4

To samo powiedział Tom Carpenter 11 godzin wcześniej. Starajmy się unikać powielania odpowiedzi.

— Dave Tweed