Analiza aktywnego filtra wycinającego Twin-T

12

Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć w analizie aktywnego filtra wycinającego Twin-T? Próbowałem transformacji trójkąt-gwiazda, a następnie analizy węzłowej, ale skończyło się na sprzecznych równaniach. Na przykład spójrz na rysunek 1 z noty aplikacyjnej Texas Instruments „ Kolekcja obwodów audio, część 2 ”:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

W bardziej ogólnym przykładzie, który studiuję, usuwam C4 / C5 i R6 / R7 (i to Vcc) i traktuję komponenty pasywne T jako dopasowane pasma w następujący sposób:

R1 i R2 stają się Y1, R3 stają się 2Y1, C1 i C2 stają się Y2, C3 staje się 2Y2, R4 i R5 dzielnikiem napięcia ogólnego o opornościach R1 i R2

audio operational-amplifier filter

— Jerzy
źródło

To brzmi jak pytanie, które według dsp.stackexchange.com powinno być na ten temat. Co myślą inni?

— Kellenjb,

@Kellenjb - jest tu również temat, ale może uzyskać lepszą odpowiedź. Jeśli operatorzy OP lub DSP chcą migracji, możemy to zrobić - z pewnością może zająć trochę więcej uwagi. Alternatywnie, narysuj schemat i prześlij obraz, aby podbić go na pierwszej stronie, gdzie powinien zwrócić większą uwagę ... nie jestem pewien, jak to przegapił za pierwszym razem.

— Kevin Vermeer

6

Transformacji Delta-Star można użyć do analizy sieci Twin-T, stosując następującą procedurę:

Dwie sieci T można równolegle przekształcić w podwójne sieci Delta:
Połącz te dwie sieci Delta w jedną sieć Delta
Przekształć uzyskaną sieć Delta z powrotem w sieć T.
Aby zobaczyć zachowanie wycięcia pasywnej bliźniaczej T, załóż, że węzeł 2 jest przywiązany do ziemi i traktuj sieć Delta, którą dostałeś w kroku 3, jako dzielnik napięcia.

Znajdziesz funkcję przesyłania .
$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
Aby zobaczyć efekt ładowania początkowego, załóż, że węzeł 2 jest utrzymywany przy napięciu α Vout, gdzie α jest pewnym współczynnikiem skalowania między 0 a 1. Sieć T nadal działa jako dzielnik napięcia, dzieląc Vin i α Vout. Aby znaleźć zachowanie systemu, musimy rozwiązać równanie , gdzie to funkcja przesyłania bez sprzężenia zwrotnego. Robiąc to, znajdujemy nową funkcję przesyłania: . Zauważ, że dla (bez sprzężenia zwrotnego) mamy , zgodnie z oczekiwaniami. Dla
$v_{out} = α \cdot v_{out} + H (s) (v_{in} - α \cdot v_{out})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$ , system staje się niestabilny. Kreśląc tę funkcję dla wartości alfa od 0 do 1, widzimy ogromny wzrost Q wycięcia.

Wynikowa funkcja przesyłania to: .

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

Oto jak wygląda odpowiedź częstotliwościowa, gdy zmienia się wzmocnienie sprzężenia zwrotnego : $\alpha$

Algebra różnych transformacji jest nieco nużąca. Użyłem do tego Mathematiki:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— nibot
źródło

2

Oto jeden ze sposobów, aby to zrobić - filtr wycinający ze sprzężeniem zwrotnym jest nieco bardziej skomplikowany, więc na razie przedstawię tylko ogólną formę filtra wycinającego typu Twin-T:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Aby rozwiązać obwód za pomocą analizy węzłowej, należy wykonać konwersję źródła napięcia Vin na równoważne źródło Norton - jest to jednak trochę trudne, ponieważ trzeba przekonwertować Vin na dwa źródła Norton, aby uwzględnić R1 i C1, a następnie zmienić układ w celu skompensowania . Lubię to:

aktualna wersja źródłowa

Punkty 1, 2 i 3 są pokazane w nowych pozycjach na równoważnym obwodzie. Powinieneś być w stanie zapisać równania KCL przez inspekcję i utworzyć rozszerzoną macierz 3 na 3 w nieznanych wersjach V1, V2 i V3. Następnie możesz rozwiązać V2 / Vo pod względem Vin, stosując regułę Cramera.

Obwód sprzężenia zwrotnego, jak pokazano w arkuszu danych TI, nie powinien być o wiele bardziej skomplikowany, ponieważ wyjście jest buforowane przez U1A i U1B, wówczas można stworzyć podobny obwód równoważny dla źródła prądu; zamiast R2 i C2 na moim pierwszym schemacie idącym do ziemi byłyby one podłączone do źródła napięcia o wartości , gdzie alfa jest współczynnikiem podziału napięcia. $Vo*\alpha$

Edycja: poprawiono pierwszy schemat

— Bitrex
źródło