Dlaczego transformacja Fouriera pojedynczego cyklu fali sinusoidalnej nie jest pojedynczym słupkiem?

Próbowałem różnych kodów transformacji Fouriera na pojedynczych falach sinusoidalnych i wszystkie wytwarzają rozproszone widmo z rezonansem na częstotliwości sygnału, kiedy teoretycznie powinny wyświetlać pojedynczy słupek.

Częstotliwość próbkowania ma niewielki wpływ (tutaj 10 kHz), jednak liczba cykli:

Jeden cykl:

100 cykli:

100000 cykli:

Wygląda na to, że transformata Fouriera zbiega się tylko dla nieskończonej liczby cykli, dlaczego tak jest? Czy okno czasowe dokładnie jednego cyklu nie powinno dawać takich samych wyników jak w przypadku N cykli?

Zastosowanie: Wynika to zarówno z ciekawości, jak i dlatego, że chcę dowiedzieć się, jak bardzo reakcja krokowa systemu pierwszego rzędu będzie ekscytująca rezonans zespołu mechanicznego. Dlatego potrzebuję dokładnej transformaty Fouriera odpowiedzi ... której już nie ufam. Co mogę zrobić, aby poprawić dokładność w oparciu o przypadek „fali sinusoidalnej”?

PS: Te konkretne zrzuty ekranu są oparte na kodzie tutaj .

To artefakt okienkowania.

Połączony kod uzupełnia sygnał próbki o wartości 10.000 zerami, dzięki czemu długość wynosi potęgę dwóch.

%% Author :- Embedded Laboratory

%%This Project shows how to apply FFT on a signal and its physical 
% significance.

fSampling = 10000;          %Sampling Frequency
tSampling = 1/fSampling;    %Sampling Time
L = 10000;                  %Length of Signal
t = (0:L-1)*tSampling;      %Time Vector
F = 100;                    %Frequency of Signal

%% Signal Without Noise
xsig = sin(2*pi*F*t);
...

%%Frequency Transform of above Signal
subplot(2,1,2)
NFFT = 2^nextpow2(L);
Xsig = fft(xsig,NFFT)/L;
...

Zauważ, że w powyższym kodzie FFT jest pobierany z rozmiarem FFT, NFFTktóry jest następną potęgą 2 większą niż długość sygnału (w tym przypadku 16 384). Z dokumentacji Mathworksfft() :

Y = fft(X,n)zwraca n-punkt DFT. fft(X)jest równoważne fft(X, n)gdzie njest rozmiar Xpierwszego wymiaru noningingleton. Jeśli długość Xjest mniejsza niż n, Xjest dopełniana zerami na końcu do długości n. Jeśli długość Xjest większa niż n, sekwencja Xjest obcinana. Gdy Xjest macierzą, długość kolumn jest dostosowywana w ten sam sposób.

Oznacza to, że tak naprawdę nie bierzesz FFT „czystej fali sinusoidalnej” - bierzesz FFT fali sinusoidalnej z płaskim sygnałem po niej.

Jest to równoważne z wzięciem FFT fali sinusoidalnej pomnożonej przez funkcję kwadratowego okna. Widmo FFT jest wówczas splotem widma częstotliwości fali sinusoidalnej (funkcja impulsu) z widmem częstotliwości fali prostokątnej (sinc (f).)

Jeśli zmienisz się L = 16,384tak, że nie będzie padania zera sygnału, zaobserwujesz perfectFFT.

Dalsze słowa kluczowe wyszukiwania: „Wyciek spektralny”, „Funkcja okna”, „Okno Hamminga”.

Edycja: Oczyściłem trochę materiału, który napisałem na ten temat na uniwersytecie, który jest znacznie bardziej szczegółowy. Opublikowałem to na swoim blogu .