Słupy i wykresy wróży

Mam trzy pytania, które niepokoją mnie od dłuższego czasu:

1. Mówimy, że na wykresie Bode występuje spadek wzmocnienia o 20 dB na dekadę za każdym razem, gdy napotkamy biegun. Ale czy bieguny nie są zdefiniowane jako wartości $s$ które powodują, że funkcja przenoszenia jest nieskończona? Dlaczego więc zysk nie rośnie w tym momencie zamiast spadać?

2. Co fizycznie dzieje się, gdy zasilamy system częstotliwością biegunową?

3. Weź również pod uwagę funkcję przenoszenia $1/(s+2)$ . Układ ma biegun przy $s=(-2+j0)$ . Oznacza to, że dla bieguna $\sigma=-2$ i $\omega=0$ . Ale kiedy przykładamy sygnał sinusoidalny do jego wejścia i rysujemy wykres Bode'a, dlaczego mówimy, że jest biegun z prędkością 2 rad / s (chociaż dla bieguna $\omega=0$ i $\sigma =-2$ )?

Bode wykres jest wykresem, który przedstawia na wykresie Transfer Function ( ) przeciwko s . H ( s ) jest funkcją złożoną, a jej wykres wielkości przedstawia powierzchnię w kartezjańskim układzie współrzędnych. Ta powierzchnia będzie miała szczyty dochodzące do nieskończoności na każdym biegunie, jak pokazano na rysunku:$H(s)$$s$$H(s)$

Wykres Bode uzyskuje się najpierw podstawiając w H ( s ), a następnie reprezentując go w postaci polarnej H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) daje wykres wrzeciona wielkości, a ϕ ( ω ) daje wykres wczytywania fazowego.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Wykres wielkości Bode jest asymptotycznym przybliżeniem wielkości funkcji przenoszenia ( ) vs logarytm częstotliwości w radianach / sek ( log 10 | ω | ) z | H ( s ) | (wyrażony w dB) na osi y i log 10 | ω | na osi x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Przechodząc do pytań:

1. Na biegunach złożona powierzchnia szczyty do nieskończoności nie | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Kiedy system jest zasilany częstotliwością biegunową, wyjściowa częstotliwość będzie miała tę samą częstotliwość, ale amplituda i faza będą się zmieniać. Wartość można określić, zastępując częstotliwość w radianach na sekundę w i odpowiednio ϕ ( ω ) .$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Biegun przy -2 rad / sek i 2 rad / sek mają taki sam wpływ na . A naszym zainteresowaniem jest pasmo przenoszenia. Potrzebujemy więc tylko pozytywnej części.$|H(\omega)|$

Próbując zrozumieć funkcje transferu, myślę, że „analogia gumowej kartki” jest bardzo przydatna. Wyobraź sobie elastyczny arkusz gumy pokrywający złożoną płaszczyznę i wyobraź sobie, że przy każdym zeru funkcji przenoszenia arkusz jest przyczepiony do ziemi, a na każdym biegunie znajduje się dosłownie cienki biegun popychający arkusz gumy w górę. Wielkość odpowiedzi częstotliwościowej jest wysokość kauczuku arkusza wzdłuż j ω -osiowy.$s$$j\omega$

1. $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ For $\omega\gg 2$ the second term on the right-hand side of (1) can be approximated by $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ which is a straight line with a slope of $-20\,\text{dB}$ per decade.

2. When you excite a system with a signal corresponding to one of its poles, then this input signal is "amplified" compared to input signals with other frequencies. Note, however, that for a stable system the output signal will always decay. E.g. if you excite the system with transfer function $H(s)=\frac{1}{s+2}$ with an input signal $x(t)=e^{-2t}$, then the output will be $y(t)=te^{-2t}$, where the factor $t$ corresponds to the system's "amplification" of the input signal. However, the exponential factor will make the signal approach $0$ for large values of $t$.

3. In short, we don't say that there's a pole at $2$ rad/s, because there isn't. What is indeed the case is that the cut-off frequency is determined by the real part of the pole, i.e. the starting point of the line with negative slope in the Bode plot is determined by the value $2$. This is the example I gave in point 1 above, where the straight line approximation with $-20$ dB per decade is valid for $\omega\gg 2$. The value $2$ is not determined by the pole frequency (which is zero) but by the real part of the pole.

The graph shows the difference between the natural frequency in the complex $s$-plane (infinite) and the corresponding magnitude peak along the $j\omega$ axis which can be observed during measurements: The graph belongs to a natural frequency of $\omega_p=1000$ rad/s and a pole quality factor $Q_p=1.3$ (which is a measure of the observable gain peaking). This plot visualizes a 2nd-order Chebyshev characteristics with 3 dB ripple in the passband.

The "s" in your equations is the constant in the function exp(s*t). So, when s is a real number, this time function is an exponentially growing or falling function. Your example with s=-2 is an exponentially falling function. For any pole "number", the output will grow when you apply an input at that "number". If you apply an exponentially falling signal to your example circuit, the output signal will go to infinity. (Note, however, that it is not possible to generate a signal that is always exponentially falling, because such a signal is very large at times in the past). When you talk of frequencies like 2 radians/sec, you are speaking of poles at j*2, not 2, so those signals are sinusoidal. It is possible to generate signals that are sine waves (at least for a pretty long time). You will get infinities out if you apply this sine wave signal to a system with a pole at +-j*2, but not if you apply it to a system with a pole at -2.