Jaka jest najostrzejsza odpowiedź częstotliwościowa dla niepochodzącego z przyczyn filtra dolnoprzepustowego, którego odpowiedź skokowa nie jest zbyt wysoka?

Filtry dolnoprzepustowe Butterwortha, Bessela, Czebycheva i cynku stosuje się w różnych przypadkach, w których występują różne kompromisy między posiadaniem jednorodnie malejącej odpowiedzi częstotliwościowej, jednolitej odpowiedzi fazowej, stromego odcięcia lub odpowiedzi „ściany z cegieł”. Wierzę, że wszystkie takie filtry mogą, w niektórych przypadkach, przekroczyć swoją odpowiedź krokową, co oznacza, że ​​ich odpowiedź impulsowa jest w niektórych miejscach negatywna.

Jaka byłaby optymalna odpowiedź częstotliwościowa lub jakie typy odpowiedzi częstotliwości byłyby dostępne w filtrze, którego jedynym ograniczeniem było to, że odpowiedź impulsowa nie może być nigdzie ujemna? Z pewnością możliwe jest, aby filtr dolnoprzepustowy spełniał takie ograniczenie, ponieważ zrobi to podstawowy filtr RC (choć odpowiedź takiego filtra jest nieco kiepska). Czy optymalna odpowiedź impulsowa byłaby krzywą rozkładu normalnego, czy coś innego?

Mam zamiar wyświetlić listę „filtrów, które nie przekraczają”. Mam nadzieję, że ta częściowa odpowiedź będzie dla ciebie lepsza niż brak odpowiedzi. Mam nadzieję, że osobom szukającym „filtra, który nie przereguluje”, ta lista takich filtrów będzie pomocna. Być może jeden z tych filtrów będzie działał odpowiednio w Twojej aplikacji, nawet jeśli nie znaleźliśmy jeszcze matematycznie optymalnego filtra.

filtry przyczynowe pierwszego i drugiego rzędu LTI

Odpowiedź krokowa filtra pierwszego rzędu („filtr RC”) nigdy nie jest zbyt wysoka.

Reakcja krokowa filtra drugiego rzędu („biquad”) może być zaprojektowana w taki sposób, aby nigdy nie przekraczała. Istnieje kilka równoważnych sposobów opisania tej klasy filtra drugiego rzędu, który nie jest przekroczony po wprowadzeniu kroku:

• jest krytycznie tłumiony lub nadmiernie tłumiony.
• nie jest zbyt wilgotne.
• współczynnik tłumienia (zeta) wynosi 1 lub więcej
• współczynnik jakości (Q) wynosi 1/2 lub mniej
• parametr szybkości rozpadu (alfa) jest co najmniej nie tłumioną naturalną częstotliwością kątową (omega_0) lub więcej

W szczególności topologia filtra Sallen-Key z równymi kondensatorami i jednakowymi rezystorami jest krytycznie tłumiona: Q = 1/2, a zatem nie przekracza wartości wejściowej kroku.

Filtr Bessela drugiego rzędu jest nieco niedostatecznie tłumiony: Q = 1 / sqrt (3), więc ma niewielkie przekroczenie.

Filtr Butterwortha drugiego rzędu jest bardziej niedokładny: Q = 1 / sqrt (2), więc ma większe przekroczenie.

Ze wszystkich możliwych filtrów LTI pierwszego i drugiego rzędu, które są przyczynowe i nie przekraczają, te z „najlepszą” (stromą) odpowiedzią częstotliwościową są „krytycznie tłumione” filtry drugiego rzędu.

filtry przyczynowe wyższego rzędu LTI

Najczęściej stosowanym filtrem przyczynowym wyższego rzędu, który ma odpowiedź impulsową, która nigdy nie jest ujemna (a zatem nigdy nie przekracza parametrów wejściowych kroku), jest „filtr średniej bieżącej”, zwany również „filtrem Boxcara” lub „ filtrem średniej ruchomej ” „.

Niektórzy ludzie lubią przepuszczać dane przez jeden filtr Boxcar, a dane wyjściowe z tego filtra do innego filtra Boxcar. Po kilku takich filtrach wynikiem jest dobre przybliżenie filtra Gaussa. (Im więcej filtrów kaskadujesz, tym bliższe końcowe wyjście jest w przybliżeniu gaussowskie, bez względu na filtr, z którego zaczynasz - boxcar, trójkąt, RC pierwszego rzędu lub inne - ze względu na centralne twierdzenie graniczne).

Praktycznie wszystkie funkcje okna mają odpowiedź impulsową, która nigdy nie jest ujemna, a zatem w zasadzie mogą być używane jako filtry FIR, które nigdy nie przekraczają wartości wejściowej kroku. W szczególności dobrze słyszę o oknie Lanczosa , które jest środkowym (dodatnim) płatem funkcji sinc () (i zerowym poza tym płatem). Kilka filtrów kształtujących impulsy ma odpowiedź impulsową, która nigdy nie jest ujemna, a zatem może być stosowana jako filtry, które nigdy nie przekraczają wartości wejściowej kroku.

Nie wiem, który z tych filtrów jest najlepszy dla twojej aplikacji i podejrzewam, że optymalny matematycznie filtr może być nieco lepszy niż którykolwiek z nich.

nieliniowe filtry przyczynowe

Filtr mediana to popularny filtr nieliniowy, że nigdy przeregulowania na wejście krok funkcyjnego.

EDYCJA: filtry przyczynowe LTI

Funkcja sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) jest własną transformacją Fouriera, i przypuszczam, że mogłaby zostać użyta jako rodzaj bez przyczynowego dolnoprzepustowego filtru LTI, który nigdy nie jest zbyt wysoki wejście krokowe.

Bez przyczynowy filtr LTI, który ma odpowiedź impulsową (sinc (t / k)) ^ 2, ma odpowiedź częstotliwościową „abs (k) * trójkąt (k * w)”. Po wprowadzeniu danych krokowych ma wiele tętnień w dziedzinie czasu, ale nigdy nie przekracza ostatecznego punktu osiadania. Powyżej narożnika tego trójkąta o wysokiej częstotliwości zapewnia idealne odrzucenie pasma zatrzymania (nieskończone tłumienie). Zatem w obszarze pasma zatrzymania ma lepszą odpowiedź częstotliwościową niż filtr Gaussa.

Dlatego wątpię, aby filtr Gaussa zapewniał „optymalną odpowiedź częstotliwościową”.

Podejrzewam, że w zestawie wszystkich możliwych „filtrów, które nie przekraczają”, nie ma jednego „optymalnego pasma przenoszenia” - niektóre mają lepsze odrzucanie pasma zatrzymania, podczas gdy inne mają węższe pasma przejściowe itp.

Większość filtrów używanych w świecie cyfrowym to tylko próbkowana wersja analogowego odpowiednika. Głównym powodem tego jest to, że przed wprowadzeniem technologii cyfrowej wykonano wiele pracy w zakresie filtrowania analogowego, więc zamiast wynaleźć koło, większość z nich była używana wcześniej. Zaletą technologii cyfrowej jest to, że filtr wyższego rzędu można osiągnąć znacznie łatwiej niż w świecie analogowym. Wyobraź sobie, jak skomplikowany obwód dostajesz za każdym razem, gdy dodasz kolejne zamówienie do projektu.

Jeśli wybierasz filtr typu ceglanego muru, krzywa Gaussa jest całkiem dobrym miejscem do rozpoczęcia. Jeśli wiesz o domenie czasu <-> domena częstotliwości; Gaussian przekształca się w Gaussa w drugiej domenie. Gdy robi się coraz bardziej nawijający w jednym, w drugim staje się węższy. Aby uzyskać doskonały skok w dziedzinie częstotliwości, potrzebujesz nieskończonej ilości próbek.

Jeśli akurat masz dostęp do Matlaba, powinieneś sprawdzić niektóre z wbudowanych narzędzi do projektowania filtrów. Oto link mówiący o Butterworth i Bessel . Narzędzia do projektowania pozwalają określić pewne aspekty filtra. Te aspekty zmieniają się dla każdego typu filtra, ale niektóre przykłady to Pasmo przepustowe, pasmo, tętnienie itp. Jeśli podasz projektantowi wymagane ograniczenia, albo spowoduje błąd (co oznacza, że ​​nie może utworzyć tego filtru z tym typem filtra) ) lub da Ci filtr o minimalnej kolejności wymaganej do spełnienia specyfikacji.