Jaka jest funkcja serii Fouriera?

Co to jest seria Fouriera? Do czego służy?

Seria Fouriera:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Termin jest stałą, to jest poziom DC. Mógłby być również napisany bez dzielenia przez dwa, ale taka jest konwencja. Warunki nieskończonej sumy są sumą ważonego sinusa i ważonego cosinusa o tej samej częstotliwości. Jeśli narysujesz je jako fazory w złożonej płaszczyźnie Arganda, zobaczysz, że wynik jest znowu sinusoidalny, ale o innej amplitudzie i przesunięciu fazowym. Dlatego równanie można również zapisać jako $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Mamy więc sumę sinusów, wszystkie wielokrotne częstotliwości częstotliwości podstawowej , każda z nich ma własną amplitudę i fazę. $\omega_0$

Fourier udowodnił, że w ten sposób można opisać każdą powtarzalną funkcję. Czasami seria jest nieskończona, czasem ma skończoną liczbę terminów. Czasami brakuje terminów, co oznacza, że ​​ich amplituda wynosi zero.

Jedną z najbardziej znanych serii Fouriera jest fala prostokątna:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

lub rozszerzone:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

To jest taka seria z brakującymi terminami: fala prostokątna nie ma nawet harmonicznych. Poniższy obraz pokazuje, jak to wygląda w dziedzinie czasu:

Górny rysunek pokazuje sumę pierwszych dwóch składników, a następnie trzeciego, a na dole dodaje się czwarty składnik. Każdy dodany element przybliża kształt fali do fali prostokątnej i będziesz potrzebować granicy szeregu do nieskończoności, aby uzyskać idealną falę kwadratową.

Czasami trudno jest zobaczyć w nim podstawowy sinus. Weźmy na przykład sumę sinusa 3 Hz i sinusa 4 Hz. Powstały kształt fali będzie powtarzany co sekundę, czyli 1 Hz. 1 Hz jest podstawą, nawet jeśli jego amplituda wynosi zero. Serię można zapisać jako

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Wszystkie poniższe terminy mają również zerową amplitudę.

Każdy możliwy do zrealizowania sygnał analogowy, wszystko, co można wymyślić lub narysować zgodnie z prawem na wykresie napięcia w funkcji czasu, może być wyrażone matematycznie jako suma nieskończonej liczby fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach - coś w tej formie:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Różne sygnały są tworzone poprzez zmianę wartości A, B, Citp, a f1, f2i innych.

Kiedy ktoś odnosi się do szeregu Fouriera, odnosi się do wyrażania kształtu fali jako szeregu operacji dodawania, takich jak powyżej.

Realistycznie każdy sygnał analogowy ma SOME zawartość na każdej częstotliwości - nawet jeśli amplituda wynosi .1e-67, nadal tam jest. Idealnie tak nie jest - jeśli zbuduję czystą falę kwadratową, to wiem na pewno, że składa się TYLKO z częstotliwości, które są nieparzystą wielokrotnością jej okresu. Tak więc fala prostokątna 1 Hz jest sumą fali sinusoidalnej 1 Hz plus fali sinusoidalnej 3 Hz i tak dalej w dół linii. W przypadku innych dobrze znanych kształtów fali, takich jak fale trójkątne i pochylnie, ludzie wykonali obliczenia dotyczące obecnych częstotliwości i zawartości.

Szereg Fouriera służy do wyrażania okresowego przebiegu jako (prawdopodobnie nieskończonej) sumy „harmonicznych” przebiegów sinusoidalnych.

Służy również do wyrażania sygnału w ograniczonym (zwartym) przedziale czasu jako nieskończonej sumy przebiegów sinusoidalnych.

Zasadniczo, ustanawiając zależność między sygnałem w dziedzinie czasu (to znaczy sygnałem wyrażonym jako funkcja czasu) a równoważnym sygnałem w dziedzinie częstotliwości (to znaczy sygnałem wyrażonym jako funkcja częstotliwości), Fourier Seria umożliwia analizę harmoniczną sygnałów i układów, która stanowi podstawę teorii transmisji radiowej, teorii kodowania, teorii sterowania, teorii kwantowej i wielu innych bardzo przydatnych dziedzin inżynierii.

Podczas gdy wyrażanie sygnałów w szeregu Fouriera wydaje się początkowo bardziej skomplikowane, obejmujące złożone wyrażenia i „nieskończone sumy”, jako narzędzie matematyczne, umożliwiają inżynierom rozwiązywanie problemów, których nie można rozwiązać za pomocą wyrażeń o zamkniętej formie.

Krótko mówiąc, czasem przydatne jest wyrażenie zmienności w przestrzeni i / lub czasie jako zmiany częstotliwości i fazy. Szczególnie w przypadku okresowych zmian. Ale nawet gdy zmiana nie jest okresowa, pod warunkiem, że zmiana jest ograniczona do pewnego przedziału w przestrzeni i / lub czasie, będzie również ograniczona do odpowiedniego przedziału (szerokości pasma) częstotliwości.

Zastosowanie serii Fouriera odegrało kluczową rolę w zrozumieniu przepustowości kanału dla systemów komunikacyjnych, opracowaniu algorytmów kompresji obrazu i poprawie niezawodności systemu dystrybucji energii elektrycznej.

Aby dodać praktyczności do powyższych komentarzy, serie w dziedzinie czasu Fouriera można rozłożyć na składowe w dziedzinie częstotliwości za pomocą algorytmów takich jak FFT (szybka transformata Fouriera) i DFT (dyskretna transformata Fouriera). Jednym ważnym praktycznym rezultatem możliwości zastosowania algorytmów jest to, że w badaniach i rozwoju oraz testach laboratoryjnych często chcemy zmierzyć czystość widmową sygnałów w odniesieniu do poziomu szumu (np. SNR lub fałszywy wolny zakres dynamiczny), aby zobaczyć, jak czysty lub często, bez zniekształceń, nasza treść sygnału jest. Jeśli mamy dane wyjściowe w dziedzinie czasu (takie jak przetwarzałby konwerter DA), nie możemy ustalić tych wartości po prostu patrząc na odpowiedź w dziedzinie czasu, więc często po stronie symulacji użyjemy modułu DFT w celu przekształcenia sygnał w dziedzinie czasu do dziedziny spektralnej (częstotliwości). W laboratorium na oscyloskopie potrzebujemy narzędzia, które może przyjrzeć się właściwościom spektralnym (zwykle używamy analizatorów widma). Serce tych narzędzi zależy od analizy Fouriera i metod rozkładu widmowego. Masz więc praktyczny powód, dla którego analiza Fouriera jest ważna w EE.