Po co używać liczb zespolonych do reprezentowania amplitudy i fazy prądu przemiennego

36

Dlaczego w obwodach prądu przemiennego fale sinusoidalne są reprezentowane jako liczba zespolona w postaci biegunowej? Z fizycznego punktu widzenia nie rozumiem logicznie, dlaczego w ogóle istnieje część wyobrażona. Czy ułatwienie analizy obwodów jest wyłącznie z matematycznego punktu widzenia?

ac circuit-analysis

— Prevost
źródło

Możliwy duplikat: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

— clabacchio

8

Cytat: „Czy ułatwienie analizy obwodów jest wyłącznie z matematycznego punktu widzenia?”

Nie jestem pewien, czy na tę część pytania udzielono już wystarczającej odpowiedzi. Dlatego: Tak - stosowanie złożonej matematyki do opisywania sygnałów sinusoidalnych nie ma bezpośredniego znaczenia fizycznego. To po prostu „ułatwić analizy”.

Jako przykład: wprowadzenie słynnej formuły Eulera dla sygnałów zatok do szeregu Fouriera prowadzi do częstotliwości ujemnych (częstotliwości symetrycznych do dodatnich). Stąd powstaje pytanie: czy w rzeczywistości występują ujemne częstotliwości? Odpowiedź brzmi nie! Jest to po prostu pomocne narzędzie matematyczne.

— LvW
źródło

Właśnie to się zastanawiałem.

— Poprzednia

83

W rzeczywistości motywacja jest dość prosta.

Kiedy masz obwód liniowy i stymulujesz go tylko jedną częstotliwością, gdziekolwiek spojrzysz, zawsze znajdziesz tę samą częstotliwość, zmienia się tylko amplituda i faza mierzonej fali.

To, co robisz, to powiedzmy dobrze, zapomnijmy o częstotliwości, jeśli śledzę amplitudę i fazę napięć i / lub prądów w obwodzie, to będzie więcej niż wystarczające. Ale jak możesz to zrobić? Czy nie ma żadnego narzędzia matematycznego, które pozwalałoby śledzić amplitudę i fazę? Tak, masz to: wektory. Wektor ma amplitudę, czyli swoją długość, i fazę, czyli kąt, który tworzy z osią x, kierunek ccw jest dodatni.

Teraz możesz sprzeciwić się, czy wektory są fajne, ale czy nie jest nic fajniejszego? I dlaczego potrzebujemy użyć wyimaginowanej jednostki?

Odpowiedź na drugie pytanie jest łatwa: wykonywanie obliczeń za pomocą wektorów jest dość uciążliwe, ból notacyjny:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

A to tylko dodatek! Dobrze, że to tylko problem notacja, jeśli mamy wybrać inną bazę rzeczy mogą być lepsze ... I to dzieje się baza istnieje, ale wymaga jednostką urojoną . Poprzedni bałagan to: Dużo łatwiej, prawda? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok, ale co ma wspólnego wyobrażony wektor z napięciem? Spróbujmy sobie wyobrazić płaszczyznę Gaussa, oś x jest osią rzeczywistą, oś y jest urojoną.

Napięcie może być reprezentowane przez wektor wyśrodkowany na początku, jego długość jest równa wartości napięcia, a kąt początkowy jest równy fazie. Teraz magiczna sztuczka: zacznij obracać wektor, aby jego prędkość kątowa odpowiadała pożądanej częstotliwości: $\omega$

niezły phasor

Bam Nazywamy to phasorem , a ten mały facet jest najsilniejszą bronią, jaką masz przeciwko trudnym obwodom.

v_{1} (t) = V_{1} \cos (2 π f_{0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} \cos (2 π f_{0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

A najlepsze jest to, że cała analiza rzeczywistych obwodów, którą do tej pory studiowałeś, nadal pracuje z fazorami i złożonymi impedancjami. To znaczy: prawo Ohma obowiązuje z fazorami i złożonymi impedancjami , i to świetnie, ponieważ mamy mnóstwo narzędzi do rozwiązywania obwodów zbudowanych na prawach Ohma i Kirchhoffa i nadal możemy ich używać.

Z fazorami przyjmowanie pochodnej / całkowania jest również bardzo łatwe: jak wiecie, ponieważ mówimy o sinusach i cosinusach wszystkich na tej samej częstotliwości, jest to tylko kwestia przesunięcia fazowego, a to - niespodzianka - jest bardzo jasne, jeśli używasz złożona reprezentacja wykładnicza.

TL; DR: Sinusoidy są reprezentowane jako wirujące wektory na płaszczyźnie polarnej, to prawie jak czas zatrzymania, gdy obracają się i robią zdjęcie, tj. Obliczają zależności fazowe i amplitudowe. Wystarczy sprawdzić stronę phasor na wikipedii. I sprawdź też tę bardziej zwięzłą odpowiedź.

— Vladimir Cravero
źródło

7

Ładne pwretty zdjęcia mnie jak +1

— Andy aka

Kolejna miła rzecz w złożonej reprezentacji: pochodna złożonego wykładniczego jest tylko kolejnym złożonym wykładniczym z przesunięciem fazowym. Dlatego nie musisz śledzić, czy używasz sinusa, czy cosinusa. (Jest to oczywiście domniemane w twoim punkcie dotyczącym obwodu napędzanego przez jedną częstotliwość, ale myślę, że to fajna rzecz, o której należy jasno powiedzieć.)

— Semiclassical

Połyskujesz nad naprawdę fajną rzeczą, która sprawia, że liczby zespolone są lepsze niż wektory: E = IR działa z liczbami zespolonymi.

— supercat

To tuż nad sekcją tldr ...

— Vladimir Cravero

Niezły (+1). Czy można dodać dwa fazory od końca do końca, aby pokazać modulację amplitudy, a następnie wykonać przesunięcie fazowe o 90 stopni dla FM? (Chciałbym przede wszystkim zobaczyć wykres fazorowy FM przy wysokim wskaźniku modulacji. Trudno mi to sobie wyobrazić.)

— George Herold,

1

Najważniejszą rzeczą do odnotowania jest to, że każdy sygnał okresowy (z pewnymi podstawowymi ograniczeniami analitycznymi, które albo obowiązują w praktyce, albo stosuje się w dowolnym stopniu, jeśli nie dokładnie), mogą być reprezentowane jako suma sygnałów sinusoidalnych i cosinusoidalnych o częstotliwości stanowiącej wielokrotność okres sygnału.

Teraz, gdy opuścisz rządy bezpośredniej reakcji (jak rezystory), energia może być gromadzona i odzyskiwana. Cewki gromadzą energię magnetyczną (przykładają napięcie, a prąd zaczyna się stopniowo, ale kontynuuje pracę, gdy napięcie spada), kondensatory przechowują energię elektryczną (przykładają prąd i napięcie, które zaczynają się stopniowo, ale idą, gdy prąd zanika), masy przekształcają siłę stopniowo w impuls , sprężyny stopniowo przekształcają impuls w siłę i tak dalej.

Wiele form mocy jest w zasadzie kwadratem pewnej miary wzbudzenia. Teraz okazuje się, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego argumentu wynosi 1. Stała. Bardzo dobrze opisujesz okresową konwersję energii za pomocą sinusów i cosinusów.

Okazuje się, że algebra używająca sinusów i cosinusów jest wątła. Jeśli dodasz wyimaginowany termin reprezentujący formę energii sygnału okresowego, który Cię nie interesuje, i wyrzucisz jakąkolwiek wyobrażoną część, która pozostanie po zakończeniu, manipulacje algebraiczne staną się znacznie prostsze kosztem faktycznych zmiennych, które są złożone .

— użytkownik53147
źródło

1

$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} = L \frac{d i}{d t} R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L d i \int R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L \int d i R e {\int V e^{j (ω t + ϕ)} d t} = L i (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + ϕ)}} = L i (t) i (t) = R e {\frac{1}{j ω L} V e^{j ϕ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

$j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

— Veritas
źródło

0

Zakładam, że zgadzamy się, że są to dwie informacje, które reprezentują sygnał prądu przemiennego w dowolnym momencie, amplituda i faza, podczas gdy ich amplituda jest tylko dla prądu stałego.

To nie tylko analiza, w której musimy manipulować informacjami, ale także konstrukcja obwodów. Komponenty mają impedancję i wpływają na sygnały prądu przemiennego. Więc kiedy projektujemy, musimy być w stanie obliczyć impedancje, aby zaprojektować obwód o określonych właściwościach prądu przemiennego.

Liczby zespolone są wygodne do reprezentowania i obliczania zarówno sygnałów AC, jak i impedancji. Dwa wymiary, długość i kąt, pozwalają nam obliczyć amplitudę i fazę razem i zachować ich spójność.

— żaglowiec
źródło