Teoretyczne pytanie dotyczące jednostki urojonej „j” (analiza obwodu prądu przemiennego)

Właśnie zacząłem uczyć się o analizie sieci prądu przemiennego i mam kilka pytań na temat „j” (lub „i” na moim kalkulatorze), urojonej jednostce. Moja książka nie zajmuje się tym zbytnio i przeskakuje do formuł i podstawień (podejście bardziej praktyczne, nie teoretyczne). Co dokładnie reprezentuje J?

Widzę, że jeśli narysuję płaszczyznę złożoną (oś y jest urojoną, oś x jest rzeczywista) i narysuję na niej okrąg jednostkowy, kąt 90 ° będzie $\sqrt{-1}$, czyli „j”. Widzę, że mogę zastosować to podstawienie w formie fazora, gdy, powiedzmy, rozwiązując napięcie na kondensatorze, gdy znany jest prąd przez niego:

Czy ktoś może mi pomóc to zrozumieć?

Szczerze mówiąc, to pytanie jest dość niejasne, ponieważ nie jestem nawet pewien, jak zapytać o to, czym jest J; to jest dla mnie obce. Chciałbym zdrowo wyjaśnić (duży obraz) jego znaczenie i cel w analizie obwodów prądu przemiennego. Niekoniecznie szukam rygorystycznego wyjaśnienia matematycznego (choć mile widziane są wszelkie niezbędne wyjaśnienia matematyczne).

Jeśli umieścisz znak minus przed liczbą „5”, stanie się „-5”.

Spróbuj spojrzeć na to inaczej. Spróbuj pomyśleć, że obraca liczbę „5” (powiązaną z początkiem kawałkiem długości 5) o 180 stopni, aby uzyskać „-5”

Jak dotąd? Znaki ujemne są takie same jak obroty o 180 stopni ...

Dlaczego nie rozszerzyć tego dalej, aby uzyskać coś, co można „trzymać” przed liczbą dodatnią, która obraca go o 90 stopni - w EE jest to zwykle nazywane „j” i działa tak, że obraca wartość (około źródła) o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tzn. jeśli zrobiłbyś to dwa razy (j * j), dostaniesz 180 stopni („-”).

Z tego klejnotu wiedzy można zatem powiedzieć j * j = -1, zatem j = $\sqrt{-1}$

Tak jak znak minus może obrócić dowolną wartość dodatnią o 180 stopni, może obrócić dowolny wektor lub wskaźnik o 180 stopni. To samo dotyczy operatora j - obraca dowolny wektor lub fazor o 90 stopni w lewo.

EDYCJA - zapomniałem części pytania: -

podstawiając j do impedancji kondensatora. Pamiętaj, że podstawową formułą kondensatora jest Q = CV i dlatego różnicujemy otrzymywane zmienne:

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

To mówi nam, że dla napięcia sinusoidalnego przyłożonego do kondensatora prąd będzie również sinusoidą, ale będzie różnicował się do cosinusa takiego jak ten:

Gdybyś próbował obliczyć impedancję (V / I) kondensatora na podstawie relacji VI, wpadłbyś w kłopoty, ponieważ kiedy przejdę przez zero, V NIE jest zerowe, więc dostajesz nieskończoności. Jeśli z drugiej strony zastosujesz „j”, aby wprowadzić prąd w fazę z napięciem, matematyka się sprawdzi - prąd i napięcie są wyrównane, a impedancja oparta na chwilowych wartościach V / I ma sens.

Wiem, że dopiero zaczynasz, więc starałem się, aby było to zarówno dokładne, jak i proste (może dla niektórych zbyt proste?).

Jeśli spojrzysz na cewkę, „j” można przyłożyć do napięcia, aby wyrównać ją z prądem, dlatego „j” znajduje się w liczniku reaktancji indukcyjnej, a j jest mianownikiem reaktancji pojemnościowej. Są tu subtelności, które, mam nadzieję, będą miały sens, gdy dowiesz się więcej - w rzeczywistości nie jest przypadkiem, że „j” wydaje się „podążać” za omegą, jeśli chodzi o impedancje - moje wyjaśnienie tego nie obejmuje i twoje pytanie też nie!

W czystej matematyce używamy $i$ reprezentować pierwiastek kwadratowy z $-1$.

Drugi pierwiastek kwadratowy z $-1$ istota $-i$.

Wyobraź sobie linię liczbową z liczbami rzeczywistymi umieszczonymi poziomo. Możemy teraz dodać drugą linię liczbową, przechodzącą pionowo, zawierającą liczby urojone.

Stworzyliśmy teraz system złożony, w którym każdy punkt na płaszczyźnie jest reprezentowany przez rzeczywistą i wymyśloną część, np $4 + 3i$ oznacza punkt, który jest 4 jednostkami wzdłuż osi rzeczywistej i 3 jednostkami w górę osi urojonej.

Ponieważ punkt w przestrzeni dwuwymiarowej można teraz przedstawić jako pojedynczą liczbę, obliczenia dotyczące wektorów dwuwymiarowych są uproszczone.

W elektronice, gdy rozważamy układy zasilane falą sinusoidalną o pojedynczej częstotliwości, początkowo uczymy się rysować diagramy fazorów. Następnie użyj liczb zespolonych, aby poradzić sobie z tymi problemami.

Używamy również $j$ zamiast $i$ale znaczenie jest identyczne. To po prostu uniknąć zamieszania, ponieważ w elektronice$i$ jest często używany do prądu.

Jeśli chcesz trochę więcej wglądu, spójrz na pytanie: czym są liczby urojone? z witryny Mathematics Stack Exchange .

Lub spójrz tutaj: wizualny, intuicyjny przewodnik po wyimaginowanych liczbach .

W matematyce ktoś zadał pytanie:

Jakie jest rozwiązanie x ^ 2 = -1?

Wymyślili numer i powiedzmy nazwijmy go „j”.

Wypracowali konsekwencje tego. Odkryli, że nie prowadzi to do żadnych sprzeczności w dziedzinie istniejącej matematyki.

Zauważ, że możesz pomyśleć: „ok, dlaczego nie po prostu wprowadzić list za każdym razem, gdy masz coś nierozwiązywalnego? Zadzwonię po prostu 1/0 = f”.

Spróbuj. Nie zawsze działa, ponieważ obowiązują zasady arytmetyczne. Na przykład możesz pokazać, że zdefiniowanie 1/0 = f pozwala pokazać, że 1 = 2 lub 1 = 3, ...

Tak matematycznie działa i nie prowadzi do żadnych sprzeczności. Nagle mamy sposób na „spakowanie” dwóch informacji w jedną liczbę ze względu na sposób, w jaki można przedstawić liczbę zespoloną: na płaszczyźnie rzeczywistej / urojonej. Nagle możemy manipulować NUMEREM, który zawiera zarówno wielkość, jak i fazę, w taki sam sposób, jak manipulujemy „zwykłymi liczbami”. To jest całkiem przydatne.

W elektronice wygodnie jest spakować dwie informacje w jedną liczbę. Dlatego wygodnie jest używać liczb zespolonych. To wszystko. Tak się składa, że ​​chcemy śledzić zarówno wielkość, jak i fazę - to narzędzie matematyczne, które zostało na wiele sposobów wymyślone z powietrza, ale nie łamie żadnych zasad, pozwala nam to zrobić. Wykorzystajmy to.

W matematyce urojoną jednostką jest bardzo pomocna liczba używana do rozwiązywania równań o więcej niż 2 rzędzie. Został wprowadzony tylko do testu i działa całkiem ładnie do dziś. Zapewnia to uzyskanie co najmniej jednego katalogu głównego w każdym wielomianu.

W elektronice wyimaginowana jednostka reprezentuje energię zmagazynowaną w naszym obwodzie. Tak więc w kondensatorze jest to energia zmagazynowana w nim. Reprezentuje również przesunięcie fazowe w obwodzie, gdy mamy do czynienia z sygnałami sinusoidalnymi.

Myślę, że powinieneś uściślić swoje pytanie lub po prostu napisać pytania, które przeszkadzają ci w punktach.

Na przykład ... Jeśli impedancja twojego obwodu będzie reprezentowana tylko przez urojoną jednostkę, a nie rzeczywistą, twój rachunek za energię wyniesie ... zero :)