Dlaczego indukcyjność (L) jest proporcjonalna do kwadratu skrętu (N²)?

Zaczynamy od równania Maxwella

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Weźmiemy integrację powierzchni po obu stronach, na powierzchni ( ) wewnątrz średniej ścieżki ( ) rdzenia.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Używamy Twierdzenia Stroke'a, aby przepisać lewą stronę; gdzie jest w tym samym kierunku co strumień magnetyczny .$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(Całka po lewej stronie daje wynik , ponieważ na uzwojeniu znajduje się różnych drutów.)$NI$$N$

Gęstość pola magnetycznego w tego rodzaju rdzeniach jest uważana za równomierną. Więc możemy pisać

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

gdzie jest średnią długością ścieżki rdzenia.$\ell_c$

Strumień magnetyczny możemy znaleźć na podstawie znalezionej przez nas gęstości strumienia magnetycznego, stosując pole przekroju rdzenia .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Z definicji indukcyjność to ilość strumienia magnetycznego generowanego na przyłożony prąd, to znaczy

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Tak więc znajdujemy indukcyjność układu jako

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Ale wszystkie inne źródła ( przykład ) podają indukcyjność takiego induktora jak ten

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Jaki błąd popełniłem przy wyprowadzaniu? Proszę wyjaśnić szczegółowo.

Obliczasz strumień rdzenia z powyższym równaniem, a indukcyjność bierze sumę wszystkich strumieni przez każdą turę. Strumień w każdym zwoju jest taki sam i równy strumieniowi rdzenia. Strumień rdzenia jest proporcjonalny do N, a suma strumienia na obrót jest proporcjonalna do .$N^2$

Innym sposobem wyrażenia tej zależności jest powiedzenie: z powodu magnetycznego sprzężenia między zwojami.

Pomyśl o cewce jednozwojowej (po lewej poniżej), a następnie wyobraź sobie, że pojedynczy zwoj dzieli się na dwa równoległe druty, które są bardzo ciasno uzwojone, tak że zajmują praktycznie tę samą przestrzeń (tuż poniżej).

Dwa równoległe druty, dla danego przyłożonego napięcia, pobierają połowę prądu cewki jednozwojowej i razem pobierają ten sam prąd co pojedynczy zwoj:

Z tego powodu każdy pojedynczy drut równoległy MUSI mieć podwójną impedancję pojedynczego drutu i razem, gdy jest podłączony równolegle, wykazuje taką samą impedancję jak pojedynczy drut. Jak dotąd?

Teraz ponownie ułóż te dwa przewody (w oku twojego umysłu), tak aby były ze sobą szeregowo. Impedancja zmienia się na czterokrotność impedancji:

Oznacza to, że indukcyjność wzrosła czterokrotnie w celu podwojenia zwojów i rozszerzenie tego przykładu na n zwojów jest banalne.

Jaki błąd popełniłem przy wyprowadzaniu? Proszę wyjaśnić szczegółowo.

Indukcyjność wynosi

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

gdzie jest wiązaniem strumienia - strumień magnetyczny łączy N zwojów.$\lambda$