Pokaż, że jest miarą naprzód-Browna

Definicje i rzeczy:

Rozważ przefiltrowaną przestrzeń prawdopodobieństwa gdzie $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

$T > 0$ $T > 0$
$P = \tilde{P}$ $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$

Jest to miara neutralna dla ryzyka .

$F_{t} = F_{t}^{W} = F_{t}^{\tilde{W}}$ $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$

gdzie jest standardem -Browiański ruch. $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Rozważ gdzie $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

M_{t} := \frac{\exp (- \int_{0}^{t} r_{s} d s)}{P (0, t)}

$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$

Zdefiniuj miarę do przodu : $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} := M_{T} = \frac{\exp (- \int_{0}^{T} r_{s} d s)}{P (0, T)}

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$

gdzie to proces o krótkiej stopie, a to cena obligacji w czasie t. $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Można pokazać, że to a martingale gdzie dynamikę ceny obligacji podano jako: $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t}

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$

gdzie

$r_t$ i są -adaptowane $\xi_t$ $\mathscr F_t$
$\xi_t$ spełnia warunek Novikova (nie sądzę, że ma reprezentować coś konkretnego) $\xi_t$

Problem:

Zdefiniuj proces stochastyczny st $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$W_{t}^{Q} := W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s$ $W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$
Użyj twierdzenia Girsanova, aby udowodnić:

$W_{t}^{Q} is standard Q -Brownian motion.$ $W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$

Co próbowałem:

Ponieważ spełnia warunek Novikova, $\xi_t$

\int_{0}^{T} ξ_{t} d t < \infty a.s. \to \int_{0}^{T} - ξ_{t} d t < \infty a.s.

$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$

\to L_{t} := \exp (- \int_{0}^{t} (- ξ_{s} d W_{s}) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ξ_{s}^{2} d s)

$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$

to a martingale. $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Twierdzenie Girsanova,

W_{t}^{Q} is standard P^{*} -Brownian motion, where

$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$

\frac{d P^{*}}{d P} := L_{T}

$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$

Wydaje mi się, że jest standardem -Brownian Motion, jeśli możemy to pokazać $W_t^{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$

L_{T} = \frac{d Q}{d P}

$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$

Zgubiłem swoje notatki, ale myślę, że potrafiłem to pokazać, używając lematu Ito

$d L_{t} = L_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dL_t = L_t \xi_t dW_t$
$d M_{t} = M_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dM_t = M_t \xi_t dW_t$

Z tych wywnioskowałem

d (\ln L_{t}) = d (\ln M_{t})

$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$

\to L_{t} = M_{t}

$\to L_t = M_t$

\to L_{T} = M_{T}

$\to L_T = M_T$

CO BYŁO DO OKAZANIA

Czy to prawda?

— BCLC
źródło

Dlaczego cena obligacji jest dyskontowana przez krótką stopę P-martingale? Twoja cena obligacji jest uogólnionym GBM. Napisz to jako wykładnik dyfuzji Ito, należy zauważyć, że dyskontowanie przez krótką stopę nie uwzględnia korekty Ito.

— Michael

@Michael, czy na pewno masz na myśli P jako neutralne pod względem ryzyka, a nie P jak w prawdziwym świecie?

— BCLC

Dobra, widzę. Jeśli rozwiążesz SDE dla jako wykładniczy Ito, a następnie , zobaczysz, że twierdzenie Girsanova stosuje się natychmiast. Ponadto i nie są takie same w ustawieniu Ito. W swoim argumencie zamiast tego należy powołać się na wyjątkowość silnych rozwiązań SDE.

P_{t}

$P_t$

M_{T}

$M_T$

\frac{d L}{L}

$\frac{dL}{L}$

d \ln L

$d \ln L$

— Michael

@Michael Thanks! Która część argumentu dokładnie?

— BCLC,

(Przyglądając się bliżej pytaniu i notacji, sformułowanie wydaje się być problematyczne w kilku miejscach).

Ogólny fakt

Niech będzie standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji . Zastanów się zdefiniowany przez Ogólnie to super martingale. Pod pewnymi warunkami (np. Warunek Novikova) jest martyngałem i można zdefiniować miarę prawdopodobieństwa przez Pod proces jest standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji $W$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ $(L_t)_{t \in [0,T]}$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ψ_{t} d L_{t}, L_{0} = 1.

$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$

L_{t} = e^{\int_{0}^{t} ψ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ψ_{s}^{2} d s}

$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$

L_{t}

$L_t$

Q

$\mathbb{Q}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t}^{Q} = W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Nieformalne wskazanie, dlaczego tak jest, jest następujące. Zastanów się . Według twierdzenia Bayesa jest -martingale wtedy i tylko wtedy, gdy jest -martingale. Od $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ $W^{\lambda}$ $\mathbb{Q}$ $L W^{\lambda}$ $\mathbb{P}$

\begin{aligned} d L W^{λ} & = L d W^{λ} + W^{λ} d L + d L d W^{λ} \\ = L (ψ + λ) d t + (\dots) d W, \end{aligned}

$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$ musimy mieć , aby było -browiańskim ruchem.

λ = - ψ

$\lambda = - \psi$

W^{λ}

$W^{\lambda}$

Q

$\mathbb{Q}$

Cena zdyskontowana jako gęstość prawdopodobieństwa

Domniemane założenia są takie, że istnieje bazowy, którego cena następująca w ramach miary neutralnej dla ryzyka . krótkiej szybkości i zmienności są dostosowywane z wystarczającą regularnością, aby istniały całki. (Aby było to prawdą, filtracja Browna generowana przez w ramach miary neutralnej dla ryzyka musi być taka sama jak ta generowana przez fizyczny ruch Browna w ramach miary fizycznej, tak aby obowiązywało Twierdzenie o reprezentacji Martingale.) $S_t$

\frac{d S_{t}}{S_{t}} = r_{t} d t + σ_{t} d W_{t}

$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$

P

$\mathbb{P}$

(r_{t})

$(r_t)$

σ_{t}

$\sigma_t$

(W_{t})

$(W_t)$

W tym ustawieniu filtracji Browna, dla dowolnego czasu twierdzenie , neutralna dla ryzyka dynamika jego ceny przyjmuje postać Proces to zmienność zwrotu , zarówno pod względem fizycznym, jak i neutralnym dla ryzyka. $T$ $X_T$ $X_t$

\frac{d X_{t}}{X_{t}} = r_{t} d t + ψ_{t} d W_{t} .

$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$

(ψ_{t})

$(\psi_t)$

X_{t}

$X_t$

Innymi słowy, neutralna dla ryzyka dynamika ceny zdyskontowanej jest wyrażona przez (Zdyskontowana cena dowolnego roszczenia w sprawie musi być zgodna z wytycznymi niezależnymi od ryzyka, bez arbitrażu) $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

\frac{d M_{t}}{M_{t}} = ψ_{t} d W_{t}, M_{0} = X_{0} .

$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$

T

$T$

Jeśli warunek Novikova się utrzymuje, wówczas definiuje gęstość Radon-Nikodym Pod proces jest standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji . $L_T = \frac{M_T}{M_0}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

Innymi słowy, zdyskontowaną wypłatę dowolnego roszczenia , znormalizowanego ze względu na czas cenę , można uznać za gęstość miary Radona-Nikodyma . Pod neutralny dla ryzyka ruch Browna dryfuje teraz ze względu na zmienność zwrotu . $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ $T$ $X_T$ $0$ $X_0$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\frac{d X_t}{X_t}$

Jeśli jest ceną aktywów w obrocie, to jest -martingale. Oznacza to, że jest -martingale. $(Y_t)$ $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ $\mathbb P$ $(\frac{Y_t}{X_t})$ $\mathbb Q$

Pomiar do przodu

Miarą przodu jest szczególnym przypadkiem związków o powyższym gdzie jest czaso- Cena wiązania zerokuponową dojrzewanie w . W szczególności . W wyrażeniu jest zmiennością zwrotu z zerowego obligacji kuponowej. $X_t = P(t,T)$ $t$ $T$ $X_T = P(T,T) = 1$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t},

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$

ξ_{t}

$\xi_t$

(Jeśli jest deterministyczne, to , a miara forward jest taka sama jak miara neutralna dla ryzyka. Obligacja zerokuponowa jest ryzykownym aktywem tylko wtedy, gdy stopa krótka jest stochastyczna.) $(r_t)$ $\xi = 0$

Odpowiednia miara jest zdefiniowana przez Ponieważ z ogólnej dyskusji powyżej wynika, że pod proces jest standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji . $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} = \frac{e^{- \int_{0}^{T} r_{s} d s} P (T, T)}{P (0, T)} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \xi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

(W zadanym pytaniu martingale powinno być . To zdyskontowane ceny aktywów są poniżej miara neutralna dla ryzyka). $M_t$ $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Komentarze empiryczne

Miara forward ma właściwość polegającą na tym, że ceny forward tworzą -martingale. $\mathbb Q$ $\mathbb Q$

Załóżmy, że jest do przodu cena kontraktu forward weszła w ze zapadalności . Przez brak arbitrażu (w tym przypadku parzystość spot-forward) który po zdyskontowaniu jest -martingale. Więc jest -martingale. $F(t,T)$ $t$ $T$

F (t, T) P (t, T) = S_{t}

$F(t,T) P(t,T) = S_t$

P

$\mathbb P$

F (t, T)

$F(t,T)$

Q

$\mathbb Q$

Ponieważ cena terminowa zmienia się odwrotnie w stosunku do . Miara do przodu przesuwa masę prawdopodobieństwa w kierunku stanów, w których zdyskontowany zwrot obligacji zerokuponowej jest wysoki, w taki sposób, że przeciwdziała ruchowi w i utrzymuje stałe (warunkowe) oczekiwanie.

F (t, T) = \frac{S_{t}}{P (t, T)}

$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$

P (t, T)

$P(t,T)$

\frac{d (e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T))}{e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T)} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$

P (t, T)

$P(t,T)$

— Michał
źródło

dzięki. więc mam rację? albo nie?

— BCLC,

Cóż, w twoim argumencie są pewne luki. 1. Stan Novikova nie jest poprawnie cytowany. 2. Planowany proces gęstości RN nie jest poprawnie zdefiniowany. 3. Po użyciu lematu Ito, pobieranie dzienników jest w porządku, ale wynik już wynika z wyjątkowości rozwiązań SDE.

M_{t}

$M_t$

— Michael

K dzięki Michael!

— BCLC