Pokaż, że jest miarą naprzód-Browna


8

Definicje i rzeczy:

Rozważ przefiltrowaną przestrzeń prawdopodobieństwa gdzie(Ω,F,{Ft}t[0,T],P)

  1. T>0
  2. P=P~

Jest to miara neutralna dla ryzyka .

  1. Ft=FtW=FtW~

gdzie jest standardem -Browiański ruch.W=W~={Wt~}t[0,T]={Wt}t[0,T]P=P~

Rozważ gdzieM={Mt}t[0,T]

Mt:=exp(0trsds)P(0,t)

Zdefiniuj miarę do przodu :Q

dQdP:=MT=exp(0Trsds)P(0,T)

gdzie to proces o krótkiej stopie, a to cena obligacji w czasie t. { P ( t , T ) } t [ 0 , T ]{rt}t[0,T]{P(t,T)}t[0,T]

Można pokazać, że to a martingale gdzie dynamikę ceny obligacji podano jako: ( F t , P ) -{exp(0trsds)P(t,T)}t[0,T](Ft,P)

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt

gdzie

  1. rt i są -adaptowaneF tξtFt

  2. ξ tξt spełnia warunek Novikova (nie sądzę, że ma reprezentować coś konkretnego)ξt


Problem:

Zdefiniuj proces stochastyczny stWQ=(WtQ)t[0,T]

WtQ:=Wt0tξsds

Użyj twierdzenia Girsanova, aby udowodnić:

WtQ is standard Q -Brownian motion.

Co próbowałem:

Ponieważ spełnia warunek Novikova,ξt

0Tξtdt< a.s.  0Tξtdt< a.s.

Lt:=exp(0t(ξsdWs)120tξs2ds)

to a martingale.(Ft,P)

Twierdzenie Girsanova,

WtQ is standard P -Brownian motion, where

dPdP:=LT

Wydaje mi się, że jest standardem -Brownian Motion, jeśli możemy to pokazać QWtQQ

LT=dQdP

Zgubiłem swoje notatki, ale myślę, że potrafiłem to pokazać, używając lematu Ito

  1. dLt=LtξtdWt
  2. dMt=MtξtdWt

Z tych wywnioskowałem

d(lnLt)=d(lnMt)

Lt=Mt

LT=MT

CO BYŁO DO OKAZANIA

Czy to prawda?


Dlaczego cena obligacji jest dyskontowana przez krótką stopę P-martingale? Twoja cena obligacji jest uogólnionym GBM. Napisz to jako wykładnik dyfuzji Ito, należy zauważyć, że dyskontowanie przez krótką stopę nie uwzględnia korekty Ito.
Michael

@Michael, czy na pewno masz na myśli P jako neutralne pod względem ryzyka, a nie P jak w prawdziwym świecie?
BCLC

Dobra, widzę. Jeśli rozwiążesz SDE dla jako wykładniczy Ito, a następnie , zobaczysz, że twierdzenie Girsanova stosuje się natychmiast. Ponadto i nie są takie same w ustawieniu Ito. W swoim argumencie zamiast tego należy powołać się na wyjątkowość silnych rozwiązań SDE. M T d LPtMT dlnL.dLLdlnL
Michael

@Michael Thanks! Która część argumentu dokładnie?
BCLC,

Odpowiedzi:


4

(Przyglądając się bliżej pytaniu i notacji, sformułowanie wydaje się być problematyczne w kilku miejscach).

Ogólny fakt

Niech będzie standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji . Zastanów się zdefiniowany przez Ogólnie to super martingale. Pod pewnymi warunkami (np. Warunek Novikova) jest martyngałem i można zdefiniować miarę prawdopodobieństwa przez Pod proces jest standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracjiW(Ft)t[0,T](Lt)t[0,T]

dLtLt=ψtdLt,L0=1.
Lt=e0tψsdWs120tψs2dsLtQ
dQdP=LT.
Q
WtQ=Wt0tψsds
(Ft)t[0,T] .

Nieformalne wskazanie, dlaczego tak jest, jest następujące. Zastanów się . Według twierdzenia Bayesa jest -martingale wtedy i tylko wtedy, gdy jest -martingale. OdWtλ=Wt+0tλsdsWλQLWλP

dLWλ=LdWλ+WλdL+dLdWλ=L(ψ+λ)dt+()dW,
musimy mieć , aby było -browiańskim ruchem.λ=ψWλQ

Cena zdyskontowana jako gęstość prawdopodobieństwa

Domniemane założenia są takie, że istnieje bazowy, którego cena następująca w ramach miary neutralnej dla ryzyka . krótkiej szybkości i zmienności są dostosowywane z wystarczającą regularnością, aby istniały całki. (Aby było to prawdą, filtracja Browna generowana przez w ramach miary neutralnej dla ryzyka musi być taka sama jak ta generowana przez fizyczny ruch Browna w ramach miary fizycznej, tak aby obowiązywało Twierdzenie o reprezentacji Martingale.)St

dStSt=rtdt+σtdWt
P(rt)σt(Wt)

W tym ustawieniu filtracji Browna, dla dowolnego czasu twierdzenie , neutralna dla ryzyka dynamika jego ceny przyjmuje postać Proces to zmienność zwrotu , zarówno pod względem fizycznym, jak i neutralnym dla ryzyka.TXTXt

dXtXt=rtdt+ψtdWt.
(ψt)Xt

Innymi słowy, neutralna dla ryzyka dynamika ceny zdyskontowanej jest wyrażona przez (Zdyskontowana cena dowolnego roszczenia w sprawie musi być zgodna z wytycznymi niezależnymi od ryzyka, bez arbitrażu)Mt=e0trsdsXt

dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
T

Jeśli warunek Novikova się utrzymuje, wówczas definiuje gęstość Radon-Nikodym Pod proces jest standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji .LT=MTM0

dQdP=LT.
Q
Wt0tψsds
(Ft)t[0,T]

Innymi słowy, zdyskontowaną wypłatę dowolnego roszczenia , znormalizowanego ze względu na czas cenę , można uznać za gęstość miary Radona-Nikodyma . Pod neutralny dla ryzyka ruch Browna dryfuje teraz ze względu na zmienność zwrotu .e0TrsdsXTTXT0X0QQdXtXt

Jeśli jest ceną aktywów w obrocie, to jest -martingale. Oznacza to, że jest -martingale.(Yt)e0trsdsYtP(YtXt)Q

Pomiar do przodu

Miarą przodu jest szczególnym przypadkiem związków o powyższym gdzie jest czaso- Cena wiązania zerokuponową dojrzewanie w . W szczególności . W wyrażeniu jest zmiennością zwrotu z zerowego obligacji kuponowej.Xt=P(t,T)tTXT=P(T,T)=1

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξt

(Jeśli jest deterministyczne, to , a miara forward jest taka sama jak miara neutralna dla ryzyka. Obligacja zerokuponowa jest ryzykownym aktywem tylko wtedy, gdy stopa krótka jest stochastyczna.)(rt)ξ=0

Odpowiednia miara jest zdefiniowana przez Ponieważ z ogólnej dyskusji powyżej wynika, że ​​pod proces jest standardowym ruchem Browna w odniesieniu do filtracji .Q

dQdP=e0TrsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
dLtLt=ξtdWt,
Q
Wt0tξsds
(Ft)t[0,T]

(W zadanym pytaniu martingale powinno być . To zdyskontowane ceny aktywów są poniżej miara neutralna dla ryzyka).Mte0trsdsP(t,T)P(0,T)

Komentarze empiryczne

Miara forward ma właściwość polegającą na tym, że ceny forward tworzą -martingale.QQ

Załóżmy, że jest do przodu cena kontraktu forward weszła w ze zapadalności . Przez brak arbitrażu (w tym przypadku parzystość spot-forward) który po zdyskontowaniu jest -martingale. Więc jest -martingale.F(t,T)tT

F(t,T)P(t,T)=St
PF(t,T)Q

Ponieważ cena terminowa zmienia się odwrotnie w stosunku do . Miara do przodu przesuwa masę prawdopodobieństwa w kierunku stanów, w których zdyskontowany zwrot obligacji zerokuponowej jest wysoki, w taki sposób, że przeciwdziała ruchowi w i utrzymuje stałe (warunkowe) oczekiwanie.

F(t,T)=StP(t,T)
P(t,T)
d(e0trsdsP(t,T))e0trsdsP(t,T)=ξtdWt,
P(t,T)


dzięki. więc mam rację? albo nie?
BCLC,

1
Cóż, w twoim argumencie są pewne luki. 1. Stan Novikova nie jest poprawnie cytowany. 2. Planowany proces gęstości RN nie jest poprawnie zdefiniowany. 3. Po użyciu lematu Ito, pobieranie dzienników jest w porządku, ale wynik już wynika z wyjątkowości rozwiązań SDE. Mt
Michael

K dzięki Michael!
BCLC
Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.