Sprawiedliwy i wydajny przydział „dóbr rodzinnych”

8

Rozważ ekonomię wymiany z dwoma towarami, np. Meblami domowymi (x) i sprzętem elektrycznym (y). Interesującą rzeczą w tych towarach jest to, że gdy rodzina jest właścicielem pakietu, wszyscy członkowie rodziny korzystają z tego samego pakietu (to jest jak „dobro klubowe”, ale tylko dla rodziny).

Istnieją dwie rodziny. W każdej rodzinie są różni członkowie z różnymi preferencjami dotyczącymi pakietów. Załóżmy, że wszystkie preferencje są monotonicznie rosnące i ściśle wypukłe.

Alokacja jest para wiązek, $(x_1,y_1)$ do rodziny 1, i $(x_2,y_2)$ do rodziny 2.

Alokacja jest nazywana wolną od zazdrości, jeśli:

Wszyscy członkowie rodziny 1 uważają, że $(x_1,y_1)$ jest co najmniej tak dobre, jak $(x_2,y_2)$ ;
Wszyscy członkowie rodziny 2 uważają, że $(x_2,y_2)$ jest co najmniej tak dobre, jak $(x_1,y_1)$ .

Alokacja nazywa się wydajnością Pareto, jeśli nie ma innej alokacji pakietów dla rodzin, tak że wszyscy członkowie wszystkich rodzin słabo preferują i co najmniej jeden członek jednej rodziny zdecydowanie woli.

Na jakich warunkach istnieje skuteczny przydział Pareto wolny od zazdrości?

Jeśli każda rodzina ma jednego członka, wówczas istnieje wydajna przydział Pareto bez zazdrości; to słynne twierdzenie Variana . Czy to twierdzenie zostało uogólnione na jednostki i rodziny?

— Erel Segal-Halevi
źródło

Bardzo silna definicja zazdrości. Można by się domyślić, że najpierw jakoś agregujesz preferencje, a następnie twierdzisz, że nie ma zazdrości zgodnie z zagregowanymi preferencjami.

— Giskard,

@denesp rzeczywiście myślałem o agregowaniu preferencji, np. o korzystaniu z funkcji pomocy społecznej. Ale każdy wybór takiej funkcji byłby arbitralny i niewystarczająco motywowany.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Chcesz nam również zakładać, że użyteczność każdego członka każdej rodziny jest słabo rośnie w ilości

i

ich rodzina otrzymuje? Jeśli tak, to mam dla ciebie bardzo niezadowalający warunek, zgodnie z którym istnieje efektywna Pareto, wolna od zazdrości alokacja: Załóżmy, że dla każdej rodziny każdy członek tej rodziny ma takie same preferencje ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shane słaba monotoniczność wydaje się rozsądnym założeniem. Jeśli w każdej rodzinie wszyscy członkowie mają takie same preferencje, wówczas każda rodzina jest jak pojedynczy agent, więc wracamy do standardowych ustawień ...

— Erel Segal-Halevi

Co z przypadkiem, w którym

i

? Zakładając słabą monotoniczność, musi to być Pareto i wolne od zazdrości. Stamtąd moglibyśmy wprowadzić niewielkie zmiany epsilon?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kawaleria Kitsune

2

W tej chwili nie jestem pewien co do równoważności ponownego etykietowania, a zatem przydatności tego odpowiedzi - patrz komentarze poniżej.

To jest początek odpowiedzi i próby wykazania, jak silne musiałyby być niezbędne założenia, aby zagwarantować istnienie.

Przekształćmy problem w równoważny, ale nieco łatwiejszy w obsłudze. Zamiast indeksować rodziny, zamiast tego indeksujmy agentów (członków rodzin). Kluczem do tego poszukiwana nowych etykiet jest zrozumienie, że rodziny mogą być zapisywane jako ograniczenia: Jeżeli środki i należą do tej samej rodziny, a następnie a . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Teraz wróciliśmy do standardowego środowiska z pojedynczymi agentami (nie rodzinami), ale z tymi rodzinnymi ograniczeniami. Przypomnij sobie dowód twierdzenia Variana, który łączysz w pytaniu. Wykorzystuje istnienie równowagi konkurencyjnej przy równych dochodach. W tym kontekście potrzebowalibyśmy istnienia równowagi konkurencyjnej z równych dochodów, w których spełnione byłyby również ograniczenia rodzinne. Będzie to bardzo trudne do zrobienia. Na przykład, należy rozważyć i są rodziną i $i$ $j$ gdzie jest małe. Te preferencje są monotoniczne i wypukłe. Zasadniczo jeden członek rodziny dba o a drugi dba o . Jeśli każda z tych dwóch czynników jest zakup i , aby zmaksymalizować swoją użyteczność, nie spodziewałbym lub w równowadze konkurencyjnej (patrzzałącznikna końcu).

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Dlatego z pewnością potrzebujesz pewnych założeń dotyczących podobieństwa preferencji w rodzinach (przynajmniej, aby użyć wersji dowodu Variana). Wydaje mi się, że jeśli dasz mi dowolną dowolną różnicę w preferencjach między członkami rodziny, mogę zbudować wokół niej przykład, w którym nie ma CEEI, w którym wybraliby taką samą alokację. A przynajmniej nie możesz użyć dowodu Variana.

Dwa pytania:

Czy zgadzasz się, że moje przeformułowanie problemu jest formalnie równoważne z tobą?
Czy potrafisz wymyślić jakieś założenie słabsze niż założenie jednorodności preferencji w rodzinie, które mogę spróbować podważyć za pomocą innego przykładu?

Dodatek: Pamiętaj, że w warunkach równowagi konkurencyjnej krańcowa stopa substytucji każdego agenta (MRS) jest równa stosunkowi ceny. Tutaj moi agenci mają stałe i różne MRS, więc nie może istnieć konkurencyjna równowaga ze stosunkiem ceny równym obu MRS. Jeśli każdy agent ma MRS, która się różni, być może może się zdarzyć, że będą równe w stosunku ceny równowagi. Więc może uda ci się uciec od pojęcia lokalnej homogeniczności rodzinnych preferencji. Ale musisz sprawić, by były lokalnie jednorodne w równowadze konkurencyjnej, a dokładnie to, co próbujesz udowodnić, istnieje, więc byłoby trochę okrągłe.

Ważna uwaga: jak wspomniano wcześniej, zakładam, że jedynym sposobem udowodnienia istnienia jest sposób, w jaki Varian to zrobił, za pośrednictwem CEEI. Mogą istnieć inne techniki dowodowe, które omijają te problemy, ale nie podejrzewam.

$i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Gdyby to nie była prawda, nastąpiłaby poprawa Pareto. Równowaga konkurencyjna zasadniczo równa się MRS poprzez stosunek ceny, ale nadal trzeba je zrównoważyć, aby znaleźć efektywną alokację Pareto. Myślę, że ograniczenia rodzinne spowodują, że stanie się to bardzo trudne - nie jest trudno wymyślić takie środowisko i ograniczenia rodzinne, że nie ma skutecznej równowagi Pareto spełniającej te ograniczenia. W każdym razie może to być kolejny częściowy krok w kierunku odpowiedzi: zapomnij o zazdrości. Najpierw spróbuj wymyślić założenie dotyczące preferencji (a może i ograniczeń rodzinnych), które gwarantuje istnienie wydajnej alokacji Pareto, która spełnia ograniczenia rodzinne. Więc martw się o zazdrość.

— Shane
źródło

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Znalazłem w oryginalnym artykule Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 dowody istnienia przydziałów PEEF, które nie zależą od CEEI, a więc są ważne nawet w sytuacjach, w których CEEI nie istnieje (preferencje nie są ściśle wypukłe). Jak dotąd nie udało mi się zrozumieć tych dowodów, ale mogą one być istotne.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi W twoim przykładzie, jakikolwiek przydział, w którym obaj agenci otrzymują ściśle dodatnie ilości obu towarów, jest nieskuteczny Pareto, prawda? Staram się zrozumieć twoje zasięgi. Mówiąc bardziej ogólnie, zgadzam się z tobą. Dodałem dodatkową sekcję dotyczącą bezpośredniego potwierdzania PEEF (bez CEEI). Nie wydaje mi się, żeby było to szczególnie satysfakcjonujące, ale w tym momencie chodzi o wszystko, co jest dla mnie oczywiste.

— Shane

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , nie 2. Teraz kwestionuję równoważność ponownego etykietowania. Rodziny są nie tylko ograniczeniem (ponieważ ludzie muszą dzielić te same dobra), są także korzyścią, ponieważ dobra są publiczne / wspólne dla rodziny.

— Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
źródło

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Wszyscy członkowie rodziny U mają wyższą MRS niż wszyscy członkowie rodziny V.

— Amit

Myślę, że w przypadku 2 rodzin i preferencji liniowych ten wymóg można usunąć. Muszę jeszcze popracować nad szczegółami.

— Erel Segal-Halevi

Myślę, że usunięcie tego wymogu będzie trudne, ponieważ chcemy, aby alokacja była wolna od zazdrości. Warunki mogą nie wyglądać schludnie, nawet jeśli w jakiś sposób są zrelaksowane. Ale ten wynik dotyczy większej klasy funkcji narzędziowych. Dobrym pomysłem będzie rozszerzenie wyniku o preferencje innego typu. Na przykład: jego wersję można również sprawdzić w preferencjach Cobb Douglas.

— Amit

1

Załóżmy, że preferencje wszystkich agentów we wszystkich rodzinach są monotoniczne i wypukłe (standardowe założenia teorii konsumentów).

Następnie, jeśli istnieją dwie rodziny, zawsze istnieje wydajna przydział Pareto bez zazdrości. Może jednak nie istnieć, jeśli istnieją trzy lub więcej rodzin.

Dowody i przykłady można znaleźć w tym dokumencie roboczym .

— Erel Segal-Halevi
źródło

-2

Opis problemu wydaje się sugerować, że X i Y nie mogą być zamiennikami (urządzenie elektryczne nie może być używane jako meble domowe).

Efektywny Pareto przydział wolny od zazdrości istnieje, gdy:

W przypadku co najmniej jednego agenta co najmniej niektóre towary mają negatywną użyteczność lub są uzupełnieniem, a agenci mogą zdecydować się nie konsumować.

Przykład:

Agenci A i B należą do rodziny F1.
Funkcja użyteczna agenta A to:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

Funkcja użyteczna agenta B to:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Agenci C i D należą do rodziny 2.
Agent C ma funkcję narzędzia:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Agent D ma funkcję narzędzia:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Rozwiązanie:

F1 woli (X1, Y1), a agent A zdecyduje się nie konsumować żadnego dobra.

F2 woli (X2, Y2), a agent C nie chce spożywać żadnego dobra.

To są naprawdę semantyczne argumenty i nie ma znaczącej równowagi bez zakładania wspólnych preferencji.

— DJ Sims
źródło

Czy mógłby Pan uściślić swoje wypowiedzi? Na przykład, jakie są „negatywne uzupełnienia”? I proszę przedstawić przynajmniej heurystyczny argument na poparcie twierdzeń, jeśli nie pełny dowód, abyśmy mogli zrozumieć twoje rozumowanie.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Edytowałem odpowiedź. Masz rację co do drugiego punktu. Jeśli agenci są zobowiązani do konsumpcji, argument nie ma zastosowania.

— DJ Sims