Niehomotyczne preferencje CES: wyprowadzanie popytu

Walczę trochę z wyprowadzeniem popytu na towary i indeksem cen, kiedy preferencje są CES, a nie homotetyczne. Optymalizuję alokację agregatora Dixit-Stiglitza, więc program zapisuje

max \underset{= C, total consumption}{\underset{⏟}{[γ_{x}^{1 / ϵ} (x - \bar{x})^{\frac{ϵ - 1}{ϵ}} + γ_{y}^{1 / ϵ} (y - \bar{y})^{\frac{ϵ - 1}{ϵ}}]^{\frac{ϵ}{ϵ - 1}}}} + μ [W - x - y p]

$\begin{equation} \max \underbrace{[\gamma_x^{1/\epsilon}(x-\bar{x})^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} + \gamma_y^{1/\epsilon}(y-\bar{y})^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon}{\epsilon - 1}}}_{\text{= C, total consumption}} + \mu[W-x -yp] \end{equation}$

Gdzie i są ilości dwóch towarów a kilka poziomów, które sprawiają, że preferencje nie homothetic, jest Lagrange'a mnożnik $x$ $y$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $\mu$ względna Cena i poziom wydatków. Czy w tym przypadku można uzyskać system popytu obejmujący całkowity poziom zużycia i indeks cen, który zwykle pojawia się podczas korzystania z CES? Przypadek z homotetycznym CES byłby z $p$ $y$ $W$ $C$

y = γ_{y} (p / P)^{- θ} C

$y=\gamma_y(p/P)^{-\theta}C$

P

$P$ będący indeksem cen uzyskanym przez zwykłe lewy z ustawieniem Dixit-Stiglitz.

macroeconomics preferences

— Ceschi
źródło

Czy rozważałeś przyjrzenie się pierwotnemu problemowi homotetycznemu i przesunięcie całego układu współrzędnych

, w tym funkcji użyteczności, ograniczenia budżetowego o

(x, y)

$(x,y)$

(\bar{x}, \bar{y})

$(\bar{x},\bar{y})$

— Giskard

Wydaje się miłą wskazówką, ale nie mogę zrozumieć szczegółów, byłbym bardzo wdzięczny, gdybyś mógł rozwinąć wskazówkę!

— Ceschi

To nie jest wskazówka, ale tylko pomysł. Nie próbowałem wykonywać żadnych obliczeń przy użyciu tego. Czego dokładnie nie możesz się dowiedzieć? Czy wiesz, jak wykonać zmianę?

— Giskard

x - \bar{x}

$x-\bar{x}$

\tilde{x}

$\tilde{x}$