Jak linearyzować poniższe równanie różnicy?

Robię modelowanie ekonomiczne, gdzie $ x_t $ jest międzyokresową zmienną przepływu środków pieniężnych. Muszę rozwiązać następującą relację powtarzania

$$ x_ {t + 1} = frac {x_ {t + 8}} {x_ {t + 1}} $$

Moim problemem jest to, że nie wiem dokładnie, jak zlinearyzować tę funkcję. Może powinienem wprowadzić nową zmienną $ y_ {t} = x_ {t + 1} $ i dostać

$$ y_ {t} ^ 2 = {x_ {t + 8}} $$

Czy mógłbyś mi pomóc w poprawnej technice linearyzacji? Ja czekam na odpowiedź.

time-series difference-equations

— Übel Yildmar
źródło

Liniowy w czym dokładnie? Masz $ x_ {t + 1} ^ 2 = x_ {t + 8} $. Zaloguj się po obu stronach: $ 2 ln (x_ {t + 1}) = ln (x_ {t + 8}) $. Czy to jest wystarczająco liniowe? Czy chcesz, aby funkcja była liniowa w $ x_t $?

— Herr K.

Możesz wziąć dziennik obu stron.

Dzięki, myślałem już o loglinearyzacji. Ale co potem zrobić? Szukam rozwiązania w postaci formularza $ x_ {t} $ = ...

— Übel Yildmar

Czy masz jakieś warunki brzegowe jako część definicji równania różnicy, np. Podano $ x_0 $ lub $ x_T $? Z postaci zlinearyzowanej w logu otrzymasz $ x_t = sqrt {x_ {t + 7}} $. Więc jeśli znasz $ x_0 $, będziesz wiedział $ x_7 $.

— Herr K.

Mam podstawowy warunek, taki jak $ x_ {0} & gt; 0 $. Może to oznacza udostępnienie loglinearyzacji. Dziękuję @Herr K.

— Übel Yildmar

Mamy relację powtarzania

$$ x_ {k + 1} = frac {x_ {k + 8}} {x_ {k + 1}} $$

Jeśli mianownik jest niezerowy, to relacja cykliczna może zostać przepisana w następujący sposób

$$ x_ {k + 7} = x_k ^ 2 $$

Zakładając pozytywność i biorąc pod uwagę logarytm obu stron, uzyskujemy a liniowy relacja nawrotu

$$ l (x_ {k + 7}) = 2 ln (x_k) $$

Przeniesienie,

$$ l (x_ {k + 1}) = 2 ln (x_ {k-6}) $$

Pozwolić

$$ eta_k: = left (ln (x_k), ln (x_ {k-1}), kropki, ln (x_ {k-6}) right) $$

być wektorem stanu o wymiarach $ 7 $. W formie matrycy,

$$ eta_ {k + 1} = rozpocznij {bmatrix} 0 & amp; 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 2 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 & amp; 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 & amp; 0 i 1 i 0 i 0 i 0 i 0 & amp; 0 i 0 i 1 i 0 i 0 i 0 & amp; 0 i 0 i 0 i 1 i 0 i 0 & amp; 0 i 0 i 0 i 0 i 1 i 0 koniec {bmatrix} eta_k $$

Dlatego potrzebujemy początkowych warunków w wysokości 7 $. Odzyskujemy $ x_k $ przez $ x_k = exp (Mathrm e_1 ^ {}} eta_k) $.

— Rodrigo de Azevedo
źródło