Gospodarka bez przydziałów wolnych od zazdrości Pareto

W słynnej pracy z 1974 r. Hal Varian udowodnił (w Twierdzeniu 2.3), że:

W gospodarce z jednorodnymi podzielnymi googami, jeśli wszyscy agenci mają preferencje monotoniczne i wypukłe , istnieje alokacja, która jest zarówno wydajna Pareto, jak i wolna od zazdrości .

Powiedział (po Twierdzeniu 2.8), że jeśli preferencje nie są wypukłe, wówczas przydziały wolne od zazdrości Pareto mogą nie istnieć. Jako przykład przedstawia następującą ekonomię: są dwaj agenci o tych samych preferencjach:

u_{1} (x, y) = u_{2} (x, y) = min (x, y)

$u_1(x,y) = u_2(x,y) = \min(x,y)$

a łączny pakiet to $(2,1)$ .

Nie rozumiem, jak to jest negatywny przykład. Jeśli damy każdemu agentowi pakiet $(1,0.5)$ , podział będzie wolny od zazdrości, ponieważ wartość każdego agenta wynosi dokładnie 0,5. Jest także wydajna Pareto, ponieważ aby zwiększyć użyteczność jednego agenta, konieczne jest przekazanie mu trochę od drugiego agenta, ale szkodzi to użyteczności drugiego agenta.

Czy coś brakuje?

pareto-efficiency fairness

— Erel Segal-Halevi
źródło

Preferencje są wypukłe. Nie są ściśle wypukłe. Nie rozumiem też, jak można za ich pomocą zbudować kontrprzykład.

u_{1} (x, y) = u_{2} (x, y) = min (x, y)

$u_1(x,y) = u_2(x,y) = \min(x,y)$

— Giskard

Ponadto, biorąc pod uwagę te funkcje narzędziowe, żaden pakiet nie jest preferowany do pakietu , więc wydaje się to dość dziwne.

0

$0$

— Giskard

Być może na papierze jest literówka, a funkcją powinna być zamiast . Czy jest sens?

max

$\max$

min

$\min$

— Erel Segal-Halevi

To ma sens. Sprawiedliwe przydziały dla tej funkcji zapewniają 1 narzędzie dla każdego gracza, ale nie może to być skuteczne, ponieważ , jest wykonalne. A funkcja użyteczności nie jest wypukła. Myślę, że masz rację.

(2, 0)

$(2,0)$

(0, 1)

$(0,1)$

— Giskard

@denesp OK, dobrze wiedzieć!

— Erel Segal-Halevi