Funkcja produkcji CES z

10

Korzystając z funkcji produkcyjnych CES postaci $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ , zawsze zakładamy, że $\rho\leq1$ . Dlaczego przyjmujemy takie założenie? Rozumiem, że jeśli $\rho>1$ , funkcja produkcji nie będzie już wklęsła (a zatem zbiór produkcji nie będzie wypukły), ale co to oznacza o funkcjach zysków i kosztów?

— Sher Afghan
źródło

3

ρ

$\rho$ powyżej jednego skutkowałoby rozwiązaniem narożnym, w którym wybrano tylko jedno wejście z ilością dodatnią. Ponieważ celem wielu dobrych funkcji produkcyjnych jest zwykle modelowanie okoliczności, w których faktycznie stosuje się dwa wejścia, jest to niepożądana cecha.

— BKay

Czy będzie rozwiązanie problemu maksymalnego zysku?

— Sher Afghan,

@SherAfghan, funkcja liniowa z

ρ = 1

$\rho = 1$ wydaje się nie występować w rodzinie CES, ponieważ jej elastyczność podstawienia nie jest stała.

— garej

3

Problem z polega na tym, że oznacza to, że krańcowy iloczyn czynników nie maleje ( ) lub jest stały ( ), ale rośnie, co jest dziwnym założeniem. Takie funkcje dają izokwanty, które są wklęsłe i mogą prowadzić do użycia tylko jednego czynnika (jak powiedział BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Jak w każdym ogólnym CES, iloczyn krańcowy współczynnika wynosi $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Pochodną tego MP w odniesieniu do jest, po pewnym przegrupowaniu, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Dla wyrażenie to jest dodatnie, co oznacza, że produktywność czynnika wzrasta, gdy stosuje się więcej tego czynnika. $\rho>1$

Jeśli chodzi o izokwanty, można je znaleźć, przepisując funkcję produkcji na . Tak jest w ogólnym CES $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Są one liniowe w przypadku , wypukłe w przypadku Cobba-Douglasa (gdzie powyższą funkcją jest $\rho=1$ , hiperbola) i wklęsły w przypadku. Na przykład wybierzi masz: $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2)}^{2)} = y^{2)} - x_{1}^{2)}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

która jest formułą koła wyśrodkowanego na , o promieniu . Zwykle w przypadku teorii produkcji interesujące jest tylko , co daje wklęsłe izokwanty dla różnych poziomów . Poniższy rysunek pokazuje przykład, dla którego dla danego współczynnika cen czynników istnieje rozwiązanie narożne (punkt A): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Kod do reprodukcji rysunku tutaj )

— Luchonacho
źródło

3

Oto moja próba odpowiedzi na to pytanie, jest niekompletna i / lub niepoprawna, więc proszę o sugestie, a ja to zmienię.

Minimalizacja kosztów

Ponieważ nie jest quasi-wklęsłe, odpowiednie izokwantowe krzywe nie będą wypukłe do początku (tj. Ich górny zestaw konturów nie będzie wypukły). W takim przypadku firma powinna zastosować rozwiązanie narożne, a wymagania dotyczące czynników warunkowych zostaną podane jako; $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2)} za n re x_{2)} (p, y) = 0 ja fa w_{1} < w_{2)}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 za n re x_{2)} (p, y) = q^{2)} ja fa w_{1} > w_{2)}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

Te wymagania współczynnika warunkowego nadają funkcję kosztu;

Maksymalizacja zysku

x_{1} (p, y) = 0, x_{2)} (p, y) = q^{2)} o r x_{1} (p, y) = q^{2)}, x_{2)} (p, y) = 0 ja fa w_{1} = w_{2)}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

do (w, y) = m ja n [w_{1} q^{2)}, w_{2)} q^{2)}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

Jestem tu naprawdę zdezorientowany. Mimo że funkcja produkcji jest wypukła, ale nadal wykazuje niezmienny zwrot w skali. $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Sher Afghan
źródło

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

To, czy istnieje rozwiązanie problemu maksymalizacji zysku, zależy dodatkowo od struktury rynku. Problem maksymalizacji zysków monopolisty jest zwykle nadal dobrze zdefiniowany, podczas gdy w przypadku firm ustalających ceny tak nie jest.

— HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2)} - 1)^{1 / 2)}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Aby zobaczyć ten sam efekt w prostszym przykładzie ( niepochodzącym z CES), rozważ to:

π (q) = p \cdot q - 2) \cdot q^{1 / 2)}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

$\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

$q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
źródło