Nieunikalne narzędzia w równowadze konkurencyjnej

Kontynuując to pytanie: Unikalność narzędzi w równowadze konkurencyjnej Myślę, że znalazłem prosty przykład, w którym narzędzia w stanie równowagi nie są unikalne i chcieli sprawdzić, czy to prawda.

Jest to gospodarka wymiany z dwoma towarami i dwoma agentami z narzędziami:

$$ u_1 (x, y) = 2x + y $$ $$ u_2 (x, y) = 3x + y $$

Początkowo każdy agent ma 1 jednostkę $ x $ i 5 jednostek $ y $.

Załóżmy, że $ p_y = 1 $. Wtedy, gdy $ p_x w [2,3] $, gospodarka jest w równowadze, ponieważ agent 1 chce sprzedać wszystkie swoje wyposażenie $ x $, a agent 2 chce kupić wszystkie $ x $. Tak więc narzędzia równowagi będą:

$$ u_1 = 5 + p_x $$ $$ u_2 = 11-p_x $$

To pokazuje, że narzędzia nie są unikalne.

A. Czy moje obliczenia są prawidłowe?

B. Jeśli są poprawne, co wydarzy się w prawdziwie konkurencyjnej gospodarce? Ponieważ równowagi są zasadniczo różne, które z nich przeważą?

EDIT: Po książce z teorią cen ponownie nie jestem pewien moich obliczeń. Książka definiuje konkurencyjną równowagę jako sytuację, w której suma żądań dokładnie równa się sumie wyposażenia. Zapotrzebowanie agenta jest zdefiniowane jako optymalny pakiet, na który może sobie pozwolić przy użyciu swojego początkowego wyposażenia. Teraz:

• Kiedykolwiek $ p_x <3 $, zapotrzebowanie agenta 2 wynosi $ (1 + 5 / p_x, 0) $ - on chce kupić $ x $ z całym swoim wyposażeniem $ y $. Ponieważ całkowita kwota $ x $ wynosi 2, oznacza to $ p_x qq 5 $ - sprzeczność.
• Za każdym razem, gdy $ p_x> 3 $, zapotrzebowanie obu agentów wynosi $ (0,5 + p_x) $ - oba chcą kupić tylko $ y $, co oczywiście nie jest równowagą.
• Dlatego musimy mieć $ p_x = 3 $. Teraz agent 2 jest obojętny na kupowanie lub sprzedawanie $ x $, podczas gdy agent 1 chce kupić tylko $ y $. Stąd zapotrzebowanie agenta 1 wynosi $ (0,5 + p_x) = (0,8) $.
• Tak więc w tym przypadku istnieje wyjątkowa równowaga, w której $ p x = 3 $, agent 1 otrzymuje $ (0,8) $, a agent 2 otrzymuje $ (2,2) $; narzędzia to 8 i 8.

Teraz jestem zdezorientowany: czy wektor użyteczności jest unikalny, czy nie?

Ta odpowiedź jest odpowiedzią na pytanie edytowane (2015.10.16 ca. 12:30 CET).

Myślę, że koncepcja równowagi oznacza, że ​​biorąc pod uwagę okoliczności, nie masz motywacji do zmiany zachowania. (Jest to w dużej mierze oparte na równowadze Nasha).
W tej sytuacji równowaga składa się z ceny i podziału dóbr. Biorąc pod uwagę cenę, każdy podejmuje decyzję handlową. Decyzja musi być wykonalna zarówno w odniesieniu do budżetu, jak i fizycznej dostępności towarów, tzn. Nie można kupić towarów, które nie istnieją. Jesteśmy w równowadze, jeśli decyzja wszystkich była optymalna (dla nich samych).
W twojej sytuacji dla dowolnego $ p_x w [0,2] $ istnieje alokacja równowagi, gdzie konsument 2 kupił dobry $ x $ od konsumenta 1 za $ p_x $ jednostek dobrego $ y $. Nie ma lepszego wykonalny decyzja dla każdego z nich.

Gdybyście zastosowali się do interpretacji ścisłej / dogmatycznej, w ogóle nie byłoby równowagi, ponieważ dla każdego $ p_x <3 $ konsument 2 chce kupić nieskończoną ilość dobrych $ x $ i dla każdego $ p_x & gt; 2 $ konsument 1 chce sprzedać nieskończoną ilość dobrych $ x $. Ponieważ nie ma $ p_x $ takiego, że $ p_x qq 2, p_x qq 3 $ nie można mieć równowagi ze skończonymi kwotami.