Intuicyjne wyjaśnienie

11

Czy ktoś może podać intuicyjne wyjaśnienie, dlaczego macierz Słuckiego pomnożona przez wektor ceny daje macierz zerową?

Wiem, że to prawda, ale tak naprawdę nie rozumiem, dlaczego to prawda. Czy ktoś może tutaj pomóc?

microeconomics

— Microhelp
źródło

8

Jest to ogólna właściwość matematyczna drugiej pochodnej / macierzy Hesji funkcji wielowymiarowych, które są jednorodne stopnia pierwszego.

Funkcja wydatków jest jednorodna stopnia pierwszego pod względem cen. Dlaczego? Jeśli wszystkie ceny zmieniają się w tej samej proporcji (w ten sposób sprawdzamy matematyczną właściwość jednorodności), ceny względne nie ulegają zmianie. Jeżeli względne ceny nie zmieniają skład ilościowy minimalnego kosztu kompensowane zużycia wiązki w celu osiągnięcia danego narzędzia nie zmienia się w ogóle . Następnie, ponieważ wszystkie ceny wzrosły o tę samą proporcję, udziały budżetowe pozostają takie same, a wydatki potrzebne do osiągnięcia tej samej użyteczności wzrastają w tej samej proporcji: jednorodność stopnia pierwszego. $E$

Przez dualnością The Hicksian zapotrzebowanie wektor jest gradient funkcji wydatków, . $H = \nabla_p E$

Wektor popytu Hicksa, daje nam wymagane minimalne koszty. Ze względu na jednorodność stopnia pierwszego funkcji wydatku, iloczyn wewnętrzny wektora popytu Hicksa pomnożony przez wektor ceny jest równy funkcji wydatku. Powinno to również być intuicyjne: wystarczy pomnożyć każdą żądaną ilość przez cenę jednostkową, którą trzeba za nią zapłacić, a sumując te produkty, otrzymujemy całkowite wydatki, które musimy ponieść, aby uzyskać pakiet kosztów minimalnych dla danej użyteczności.

Tak więc mamy (uproszczenia zapisu różnicowania) a także . Dlatego też $E = H\cdot p$ $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

i tak musi być

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

Tak więc wektor popytu Hicksa jest jednorodny ze stopniem zerowym pod względem cen (matematycznie jest to konsekwencja twierdzenia Eulera dla funkcji jednorodnych, tzn. Że jeśli funkcja jest jednorodna ze stopniem jednorodności , jej gradient ma stopień jednorodności ). $k$ $k-1$

Ale pierwszą pochodną (jakobiańską) popytu Hicksa (która jest macierzą Hesji drugich pochodnych funkcji wydatkowej) jest macierz Słuckiego, . Więc . $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

Wynik wynika więc z jednorodności stopnia pierwszego funkcji wydatków. Czy istnieje intuicyjne wytłumaczenie, analogicznie do intuicji stojącej za jednorodnością stopnia 1 funkcji wydatków? Cóż, ten pierwszy pochodzi bezpośrednio od drugiego, więc trudno jest wymyślić „osobny” intuicyjny argument. Nieformalnie można powiedzieć, że żądane ilości skompensowane są „niezależne” od (bez wpływu) zmian cen, gdy ceny względne pozostają takie same. W sensie geometrycznym oznacza to, że wektory prędkości zmian żądanych wielkości skompensowanych (które zawiera każdy wiersz macierzy Slutsky'ego) są ortogonalne do wektora ceny.

— Alecos Papadopoulos
źródło

Łał. To fantastyczna odpowiedź.

— 123

1

Nie wiem, czy potraktujesz to jako wyjaśnienie, czy raczej jako dowód.

To, co lepiej rozumiemy z rachunku jednowymiarowego, to aproksymacja Taylora pierwszego rzędu, tj. Funkcja spełniająca pewne warunki regularności może być dobrze aproksymowana funkcją liniową w punkcie. Powiedz , a następnie wokół (tj. Gdy jest małe) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{i} (p^{*} + δ) ≃ h_{i} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

$\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Innymi słowy, ponieważ popyt Hicksa na jakiekolwiek dobro nie reaguje na zmianę cen, która utrzymuje ceny względne na tym samym poziomie, to jeśli spojrzymy na sumę indywidualnych wpływów tych zmian cen na towar, powinniśmy zaobserwować 0 zmian.

— ramazan
źródło

1

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— użytkownik157623
źródło