Czy preferencje monotoniczne i ciągłe są z konieczności racjonalne?


15

Niech będzie ściśle monotoniczną i ciągłą relacją preferencji, a niech X = \ mathbb {R} ^ {n} będzie zbiorem zużycia.X = R nX=Rn

Czy racjonalność wynika z tych warunków?

Myślę, że przechodniość wynika z ciągłości. Jednak kompletność jest niepokojąca, ponieważ istnieją elementy x,yX , których nie można uporządkować względem lub , a zatem nie możemy użyć monotoniczności, aby pokazać, że jest kompletny.

Myślałem o skonstruowaniu sekwencji xn z x1=x takiej, że xny i albo xnxn+1 albo xn+1xn . Następnie przez przechodniości i ciągłości mogliśmy pokazać, że x i y mogą być zamawiane w odniesieniu do , ale nie sądzę, że jest to możliwe do skonstruowania takiej sekwencji.

Każda pomoc będzie mile widziana, ale proszę podać wskazówki, a nie pełne rozwiązania.


6
Niestety przechodniość relacji nie wynika tylko z ciągłości. Niech R będzie relacją „ma różnicę ściśle mniejszą niż jeden”. Na liczbach rzeczywistych R jest ciągły, ale nie przechodni.
Giskard

2
Jestem całkiem pewien, że monotoniczne i ciągłe preferencje niekoniecznie są racjonalne.
BB King

Odpowiedzi:


8

Rozważ relację preferencji w taką, że i . x=( x 1 , x 2 )( y 1 , y 2 )=yR2x=(x1,x2)(y1,y2)=y x 2y 2x1y1x2y2)

1) Możesz spierać się, czy ta relacja preferencji jest ściśle monotoniczna i ciągła.

2) Czy zdefiniowana powyżej relacja jest kompletna?

Następnie, jako dodatek, możesz również ponownie rozważyć swoje twierdzenie, że ciągłość jest przyczyną przechodniości.

Uwaga: Właśnie napisałem ten konkretny w celu przeprowadzenia eksperymentu myślowego. Więcej w celu zakwestionowania twojego zrozumienia. Nie jestem pewien, czy ten przykład stanowi odpowiedź na twoje pytanie, czy nie.


4

Pytanie brzmi, czy racjonalność wynika z ciągłości i monotoniczności. Aby pokazać, że tak nie jest, wystarczy kontrprzykład. Dlatego szukamy nieprzechodnej, niepełnej, monotonnej, ciągłej relacji preferencji.

Załóżmy, że . W ten sposób tworzymy preferencje względem punktów linii od do . Rozważ relację preferencji zdefiniowaną przez która w innym przypadku jest niekompletna.( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( .5 , .5 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 )X={x0,y0:x+y=1}(0,1)(1,0)(1,0)(.5,.5)(0,1)(1,0)

Racjonalność

Racjonalność polega na kompletności i przechodniości relacji preferencji, zdefiniowanej następująco:

Kompletność

Relacja preferencji jest kompletna, jeśli dla wszystkich mamy x y , y x lub oba.x,yXxyyx

, a zatem związek opcja nie jest kompletna.(.5,.5)≿̸(.5,.5)

Przechodniość

Relacja preferencji jest przechodnia, jeśli i y z implikują x z .xyyzxz

i ( 0,5 , 0,5 ) ( 0 , 1 ), chwyt, lecz ( 1 , 0 ) ̸ ( 0 , 1 ) , a zatem związek preferencja nie przejściowe.(1,0)(.5,.5)(.5,.5)(0,1)(1,0)≿̸(0,1)

Ciągłość

Relacja preferencji jest ciągła, jeśli dla wszystkich sekwencji zbiegających się do ( x , y ) z i : x iy i mamy x y .(xi,yi)i=1(x,y)i:xiyixy

Relacja preferencji nie narusza ciągłości. Rozważ sekwencję która zbiega się do x , y . Sekwencje te mogą być tylko takie, że x i = x i y i = y oraz x y , ponieważ wszystkie inne x i , y i albo nie są zbieżne do x , y , albo nie spełniają x iy i . Ale oczywiście, jeśli x iyxiyix,yxi=xyi=yxyxi,yix,yxjayja następnie x y .xjayjaxy

Monotoniczność

Relacja preferencji jest monotoniczna, jeśli implikuje x y .xyxy

relacja uwzględnia wszystkie elementy X nieporównywalne, zatem relacja preferencji jest monotonia.X

Mamy zatem nieprzechodni, niekompletny, monotonowy, ciągły stosunek preferencji.


Zakładam, że , ale mimo to definicja twojej relacji wydaje się niepełna. Co jest preferowane (0,1,0,9) lub (0,1)? (A co z innymi parami?) Czy przez między (0,5,0,5) a (0,1) masz na myśli ? x1,y1
Giskard

Dziękujemy za zwrócenie uwagi na błąd pisania. Odnośnie pozostałych komentarzy na temat zapewnienia niepełnej relacji: właśnie o to chodzi. Szukamy relacji preferencji, która jest nieprzechodnia + niekompletna, ale jednocześnie monotonna i ciągła. Jeśli zaczniemy od kompletnej relacji preferencji, pokonałoby to cel.
HRSE

Widzę. To znaczy, że relacja jest zdefiniowana dokładnie tam, gdzie ją zdefiniowano. Nie zawsze tak jest. Np .: 3 <5, ale relacja również tam, gdzie jej nie zdefiniowałem.
Giskard

relacja jest zawsze „definiowana tylko tam, gdzie ją definiujemy”. Formalnie relacja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru. Do zdefiniowania relacji wystarcza specyfikacja tego podzbioru. W ten sposób można zdefiniować relację <na liczbach rzeczywistych, tak aby 3 <5. Nie będzie to odpowiadać zwykłej definicji, ale jest to jednak poprawna specyfikacja (niepełnej) relacji.
HRSE

W porządku, przeformułuję mój komentarz: pomyślałem, że podałem tylko kilka przykładów tego, jak będzie działać twoja relacja, a nie dokładną definicję, ale teraz rozumiem, co miałeś na myśli.
Giskard

2

Przechodniości preferencji odwołań do jakiegoś „intuicyjny” pojęcia „spójności ludzkiego umysłu”, a to można twierdzić, że wszelkie wyjątki są „wyjątki od reguły ”, a więc możemy zrobić posiadać odpowiednią abstrakcyjne reguły.

Dla porównania, Kompletność jest znacznie bardziej „skokiem wiary”. Wisi w powietrzu, wyłaniając się z niczego, powiązany z niczym ( więc odpowiedź na twoje pytanie brzmi „nie” ). Być może może to być poparte wulgarną uwagą, że „jeśli naciśniesz wystarczająco osobę, wtedy w końcu zamówi każdą parę, którą umieścisz przed nim, nawet po to, aby się ciebie pozbyć”, ale oczywiście to, patrząc na dobre w praktyce, nigdy nie zadziała w teorii.

Więc po prostu definiujemy Kompletność, by istnieć ... dlaczego? Aby uniknąć raczej niemożliwych do rozwiązania problemów na drodze. Jak przydatna będzie praca z niepełnymi preferencjami? Jak przydatne byłoby powiedzenie: „Mam ten model, może to wynikać, może nie, w zależności od tego, czy preferencje są kompletne, czy nie” ... jaki jest jego użytek? Bylibyśmy wówczas zmuszeni wymyślić alternatywną zasadę decyzyjną: „Zakładając, że preferencje nie są kompletne, to jeśli osoba napotka parę, której nie może zamówić ...” - co robi ? Rzuć monetą? Ale to uczyniłoby „niekompletność” równoznaczną z obojętnością ...

Co jeszcze? Ta linia myślenia może być bardzo stymulująca, ale jest również bardzo trudna, a z pewnością przełamująca ścieżki, jeśli rzeczywiście taka ścieżka istnieje lub może zostać stworzona. (Moim zdaniem różne teoretyczne eksploracje „rozmytej” odmiany próbują znaleźć „środkową drogę” dla dokładnie tego problemu - tam, gdzie rozważają sytuację, w której dana osoba nie ma pełnych preferencji, ani nie jest całkowicie „zamrożona”, gdy „trudne” „para pojawia się).

Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.