Czy preferencje monotoniczne i ciągłe są z konieczności racjonalne?

Niech będzie ściśle monotoniczną i ciągłą relacją preferencji, a niech X = \ mathbb {R} ^ {n} będzie zbiorem zużycia.X = R $\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

Czy racjonalność $\succsim$ wynika z tych warunków?

Myślę, że przechodniość wynika z ciągłości. Jednak kompletność jest niepokojąca, ponieważ istnieją elementy $x,y \in X$ , których nie można uporządkować względem $\leq$ lub $\geq$ , a zatem nie możemy użyć monotoniczności, aby pokazać, że $\succsim$ jest kompletny.

Myślałem o skonstruowaniu sekwencji $x_{n}$ z $x_{1}=x$ takiej, że $x_{n} \to y$ i albo $x_{n}\succsim x_{n+1}$ albo $x_{n+1} \succsim x_{n}$ . Następnie przez przechodniości i ciągłości mogliśmy pokazać, że $x$ i $y$ mogą być zamawiane w odniesieniu do $\succsim$ , ale nie sądzę, że jest to możliwe do skonstruowania takiej sekwencji.

Każda pomoc będzie mile widziana, ale proszę podać wskazówki, a nie pełne rozwiązania.

Rozważ relację preferencji w taką, że i . x=( x 1 , x 2 )≿( y 1 , y 2 )=$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Możesz spierać się, czy ta relacja preferencji jest ściśle monotoniczna i ciągła.

2) Czy zdefiniowana powyżej relacja jest kompletna?

Następnie, jako dodatek, możesz również ponownie rozważyć swoje twierdzenie, że ciągłość jest przyczyną przechodniości.

Uwaga: Właśnie napisałem ten konkretny w celu przeprowadzenia eksperymentu myślowego. Więcej w celu zakwestionowania twojego zrozumienia. Nie jestem pewien, czy ten przykład stanowi odpowiedź na twoje pytanie, czy nie.

Pytanie brzmi, czy racjonalność wynika z ciągłości i monotoniczności. Aby pokazać, że tak nie jest, wystarczy kontrprzykład. Dlatego szukamy nieprzechodnej, niepełnej, monotonnej, ciągłej relacji preferencji.

Załóżmy, że . W ten sposób tworzymy preferencje względem punktów linii od do . Rozważ relację preferencji zdefiniowaną przez która w innym przypadku jest niekompletna.( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , 0 $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Racjonalność

Racjonalność polega na kompletności i przechodniości relacji preferencji, zdefiniowanej następująco:

Kompletność

Relacja preferencji jest kompletna, jeśli dla wszystkich mamy x ≿ y , y ≿ x lub oba.$x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

, a zatem związek opcja nie jest kompletna.$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

Przechodniość

Relacja preferencji jest przechodnia, jeśli i y ≿ z implikują x ≿ z .$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

i ( 0,5 , 0,5 ) ≿ ( 0 , 1 ), chwyt, lecz ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 ) , a zatem związek preferencja nie przejściowe.$(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Ciągłość

Relacja preferencji jest ciągła, jeśli dla wszystkich sekwencji zbiegających się do ( x , y ) z ∀ i : x i ≿ y i mamy x ≿ y .${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

Relacja preferencji nie narusza ciągłości. Rozważ sekwencję która zbiega się do x , y . Sekwencje te mogą być tylko takie, że x i = x i y i = y oraz x ≠ y , ponieważ wszystkie inne x i , y i albo nie są zbieżne do x , y , albo nie spełniają x i ≿ y i . Ale oczywiście, jeśli x i ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$ następnie x ≿ y .$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Monotoniczność

Relacja preferencji jest monotoniczna, jeśli implikuje x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

relacja uwzględnia wszystkie elementy X nieporównywalne, zatem relacja preferencji jest monotonia.$\geq$$X$

Mamy zatem nieprzechodni, niekompletny, monotonowy, ciągły stosunek preferencji.

Przechodniości preferencji odwołań do jakiegoś „intuicyjny” pojęcia „spójności ludzkiego umysłu”, a to można twierdzić, że wszelkie wyjątki są „wyjątki od reguły ”, a więc możemy zrobić posiadać odpowiednią abstrakcyjne reguły.

Dla porównania, Kompletność jest znacznie bardziej „skokiem wiary”. Wisi w powietrzu, wyłaniając się z niczego, powiązany z niczym ( więc odpowiedź na twoje pytanie brzmi „nie” ). Być może może to być poparte wulgarną uwagą, że „jeśli naciśniesz wystarczająco osobę, wtedy w końcu zamówi każdą parę, którą umieścisz przed nim, nawet po to, aby się ciebie pozbyć”, ale oczywiście to, patrząc na dobre w praktyce, nigdy nie zadziała w teorii.

Więc po prostu definiujemy Kompletność, by istnieć ... dlaczego? Aby uniknąć raczej niemożliwych do rozwiązania problemów na drodze. Jak przydatna będzie praca z niepełnymi preferencjami? Jak przydatne byłoby powiedzenie: „Mam ten model, może to wynikać, może nie, w zależności od tego, czy preferencje są kompletne, czy nie” ... jaki jest jego użytek? Bylibyśmy wówczas zmuszeni wymyślić alternatywną zasadę decyzyjną: „Zakładając, że preferencje nie są kompletne, to jeśli osoba napotka parę, której nie może zamówić ...” - co robi ? Rzuć monetą? Ale to uczyniłoby „niekompletność” równoznaczną z obojętnością ...

Co jeszcze? Ta linia myślenia może być bardzo stymulująca, ale jest również bardzo trudna, a z pewnością przełamująca ścieżki, jeśli rzeczywiście taka ścieżka istnieje lub może zostać stworzona. (Moim zdaniem różne teoretyczne eksploracje „rozmytej” odmiany próbują znaleźć „środkową drogę” dla dokładnie tego problemu - tam, gdzie rozważają sytuację, w której dana osoba nie ma pełnych preferencji, ani nie jest całkowicie „zamrożona”, gdy „trudne” „para pojawia się).