Stochastyczny wzrost w ciągłym czasie

Literatura: Patrz Chang (1988) w części teoretycznej, a Achdou i in. (2015) odpowiednio dla części numerycznej.

Model

Rozważ następujący stochastyczny problem optymalnego wzrostu w notacji per capita. wszystko jest standardowe z wyjątkiem który jest przyrost standardowego procesu Wienera, tj. . Tempo wzrostu populacji ma średnią i wariancję .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Rozwiązanie analityczne

Zakładamy, że technologia Cobba-Douglasa

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

i narzędzie CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Skonfiguruj Hamilton-Jacobi -Równanie Bellmana (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

Warunek pierwszego rzędu (FOC) brzmi

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ gdzie

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ oznacza funkcję polityki.

Ponownie podstaw FOC do HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Domyślamy się funkcjonalną formę pomocą ( Posch (2009, eq. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

gdzie jest stałą. Pochodne pierwszego i drugiego rzędu są podane przez $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

HJB-e następnie odczytuje

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

Zmaksymalizowany HJB-e jest prawdziwy, jeśli poniższe warunki trzymają

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Ponownie wprowadź do która ostatecznie daje funkcję prawdziwej wartości $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Dlaczego to nie zależy od ? $v$ $\sigma$

Tak więc deterministyczna i stochastyczna funkcja wartości musi być taka sama. Funkcja polityki jest następnie łatwo podana przez (użyj FOC i pochodnej funkcji wartości)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Zauważ, że ta funkcja również nie zależy od . $\sigma$

Zbliżenia numeryczne

Rozwiązałem HJB-e według schematu pod wiatr. Tolerancja błędu . Na poniższym rysunku rysuję funkcję polityki dla zmiennej . Dla dochodzę do prawdziwego rozwiązania (fioletowy). Ale dla przybliżona funkcja polityki różni się od prawdziwej. Co nie powinno tak być, ponieważ nie zależy od , prawda? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Czy ktoś może potwierdzić, że przybliżone funkcje zasad powinny być takie same dla każdego , ponieważ prawdziwa jest niezależna od ? $\sigma$ $\sigma$

— bezradny
źródło

Niepokoi mnie tutaj pierwszy warunek „iff” po napisaniu „zmaksymalizowany HJB-e jest prawdziwy, o ile spełnione są następujące warunki”: jest to bardzo specyficzna relacja równości, która musi zachowywać wszystkie parametry parametru preferencji modelu , wzrost liczby ludności, wydajność kapitału i zmienność. Zastanawiam się: czy naprawdę możemy pracować z odgadłymi funkcjami, których ważność zależy od tak bardzo wąskiego warunku parametrów?

— Alecos Papadopoulos

Cóż, tutaj naprawiam jako funkcję czterech pozostałych parametrów. Tak więc równanie jest zawsze prawdziwe, jeśli dodatkowo jest ważne . Zastanawiam się: czy istnieje jakaś zasada, gdy zgadywanie funkcji jest niedozwolone? Chodzi o to, że jesteśmy zainteresowani znalezieniem prawdziwego rozwiązania i pod pewnymi konkretnymi warunkami uzyskujemy prawdziwe rozwiązanie. Nie jestem pewien, co ci tu przeszkadza z teoretycznego punktu widzenia? Jasne, może ograniczać pracę empiryczną, ale nie o to tutaj chodzi. Jesteśmy raczej zainteresowani rozwiązaniem HJBe i można to zrobić. Jeśli empirysta (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— nieświadomy

szacuje i stwierdzamy, że warunek jest naruszony, wówczas możemy odrzucić model. Jednak rozwiązanie pozostaje w zasadzie prawdziwe. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— bladego pojęcia

Moje obawy nie dotyczą ważności empirycznej. Zastanawiam się, w jakim stopniu konkretne przypuszczenie dotyczące formy funkcjonalnej funkcji wartości zależy od tego związku między parametrami. Bez odniesienia do jakichkolwiek danych empirycznych, jeśli założymy, że relacja nie zachowuje, co wtedy? Czy powinniśmy odgadnąć funkcję wartości, która nie jest nawet wykładnicza w , czy też wystarczyłoby zachować strukturę wykładniczą, ale wypróbować różne sposoby uwzględnienia w niej parametrów? (przy okazji, zastanawiam się również nad waszym głównym pytaniem, ponieważ ta dyskusja jest prawdopodobnie peryferyjna)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

Czy jesteś pewien, że problem optymalizacji został poprawnie określony? Nie ma na przykład oczekiwania opartego na powiedzmy, ? Jak stwierdzono teraz, a zatem prawdopodobnie przyjmują dowolną wartość, biorąc pod uwagę proces Wienera .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Więcej komentarza:

W opisie problemu powinien znajdować się operator oczekiwania, w przeciwnym razie problem nie ma sensu.

To, że „... deterministyczna i stochastyczna funkcja wartości musi być taka sama ...” nie jest do końca słuszne. Wartość ma kluczowe znaczenie w ograniczeniu $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Jeśli , to przypuszczalnie dla ekonomicznie uzasadnionego i , w którym to przypadku problem deterministyczny może być źle postawiony. Prawdą jest, że funkcja wartości stochastycznej przyjmuje podaną postać tylko wtedy, gdy obowiązuje ograniczenie parametru. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Obliczanie terminu Ito z prawej strony $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

ograniczenie można zapisać jako

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

Po prawej stronie mamy elastyczność międzyokresowego terminu substytucji i terminu awersji do ryzyka . Ograniczenie mówi, że przy szczególnym wyborze , równoważą się one, aż do preferencji czasowej i dryfu . Dlatego funkcja wartości jest niezależna od . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Że funkcja wartość jest niezależna od jest artefaktem ograniczeń, a wybór CRRA . Ogólnie nieprawda. $\sigma$ $u$

— Michael
źródło