Linearyzacja logów

Rozważ niektóre dane szeregów czasowych . Zdefiniuj stan ustalony przez $X=\{x_t:t\in[0,\infty)\}$

\begin{aligned} x \in X : x_{t + 1} - x_{t} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x\in X:x_{t+1} - x_t = 0 \end{align}$

a odchylenie od stanu równowagi dziennika z

\begin{aligned} {\hat{x}}_{t} := \ln x_{t} - \ln_{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \hat x_t:=\ln x_t - \ln_x. \end{align}$

$x_t$

\begin{aligned} x_{t} = x \exp ({\hat{x}}_{t}) . \end{aligned}

$\begin{align} x_t=x\exp(\hat x_t). \end{align}$

\begin{aligned} a_{t} = b_{t} c_{t}^{α} + D E_{t} [(\frac{e_{t + 1}}{e_{t}}) {(\frac{f_{t}}{g_{t}})}^{β} a_{t + 1}] \end{aligned}

$\begin{align} a_t = b_t c_t^\alpha + D\mathbb{E}_t\left[\left(\frac{e_{t+1}}{e_t}\right)\left(\frac{f_t}{g_t}\right)^\beta a_{t+1}\right] \end{align}$

D

$D$

Pierwsze podejscie

\begin{aligned} a \exp ({\hat{a}}_{t}) = b c^{α} \exp ({\hat{b}}_{t} + α {\hat{c}}_{t}) + D {(\frac{f}{g})}^{β} a E_{t} [\exp ({\hat{e}}_{t + 1} - {\hat{e}}_{t} + β ({\hat{f}}_{t} - {\hat{g}}_{t}) + {\hat{a}}_{t + 1})] \end{aligned}

$\begin{align} a\exp(\hat a_t) = b c^\alpha \exp(\hat b_t + \alpha\hat c_t)+ D\left(\frac{f}{g}\right)^\beta a\mathbb{E}_t\left[\exp(\hat e_{t+1} - \hat e_t + \beta(\hat f_t - \hat g_t) + \hat a_{t+1})\right] \end{align}$

co powinno uprościć do

\begin{aligned} \exp ({\hat{a}}_{t}) = \exp ({\hat{b}}_{t} + α {\hat{c}}_{t}) + E_{t} [\exp ({\hat{e}}_{t + 1} - {\hat{e}}_{t} + β ({\hat{f}}_{t} - {\hat{g}}_{t}) + {\hat{a}}_{t + 1})] \end{aligned}

$\begin{align} \exp(\hat a_t) = \exp(\hat b_t + \alpha\hat c_t)+\mathbb{E}_t\left[\exp(\hat e_{t+1} - \hat e_t + \beta(\hat f_t - \hat g_t) + \hat a_{t+1})\right] \end{align}$

Czy to jest poprawne?
Co można zrobić, aby jeszcze bardziej poprawić / uprościć dostępne równanie?

steady-state

— bezradny
źródło

Moja odpowiedź na to pytanie może być pomocna.

— cc7768,

@ cc7768 IMO Twoja powiązana odpowiedź jest prawie kanoniczna. Ale to pytanie jest prawdopodobnie tym, które przede wszystkim zwróci uwagę przyszłych pytających na ten temat (ze względu na jego bardziej ogólny tytuł). Być może powinieneś rozważyć ponowne opublikowanie odpowiedzi tutaj z wszelkimi niezbędnymi poprawkami, a następnie moglibyśmy oznaczyć jako duplikat jakiekolwiek przyszłe pytanie dotyczące linearyzacji logów.

— Alecos Papadopoulos

@clueless Linearization obejmuje rozszerzenie Taylora. Aby wykonać rozwinięcie Taylora, należy określić, w odniesieniu do których zmiennych należy go obliczyć. Twoje równanie ma wiele zmiennych w czasie. Czy należy rozszerzyć Taylora w odniesieniu do nich wszystkich? Ich podzbiór? (W ustawieniach międzyokresowych zwykle rozważamy rozszerzenia Taylora w odniesieniu do wszystkich zmiennych, które mają wartość stanu ustalonego). Proszę podać tę informację w pytaniu.

— Alecos Papadopoulos,

Jeśli dzisiaj będę miał czas (mam współautora w mieście), postaram się przeformułować tę odpowiedź, aby była odpowiednia dla tego pytania. Zgadzam się, że to pytanie dotyczące linearyzacji logów, które zwiększy ruch. Jeśli ktoś chciałby na to odpowiedzieć, używając części mojej odpowiedzi (lub tylko własnej), to ułatwiłoby mi życie, ale jeśli nikt nie odpowiedziałby na to następnego dnia, usiądę i coś napiszę.

— cc7768,

Próbowałem wyjaśnić ekspozycję i podałem pierwszą wskazówkę dotyczącą rozwiązania.

— nieświadomy