Nie można wywnioskować oczekiwań na aukcji drugiej ceny

7

Pracuję nad SPA, w którym rozwiązujemy:

$\max_{\beta \ge 0} Pr\{Winning\}[v - \mathbb{E}(b^{[2]} \ | \ b^{[2]} \le \beta)]$

Zakładamy, że wszystkie przekonania dotyczące ofert są niezależnie i identycznie rozłożone na podane przez CDF . $[0,1]$ $F(b)$

$b^{[2]}$ oznacza drugą najwyższą ofertę.

Znalazłem $Pr\{Winning\} = Pr\{\beta \ge b_1, \ldots , b_n\} = F(b)^N$

W notatkach z wykładu podano:

$\mathbb{E}(b^{[2]} \ | \ b^{[2]} \le \beta) = \frac{1}{Pr(b^{[2]} \le beta)} \int_0^{\beta} bdF(b)^N$

Zakładam, że pochodzi od , ale nie mogę tego rozgryźć. Zwłaszcza w całce. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $F(b)^N$

microeconomics auctions

— hipHopMetropolisHastings
źródło

Nie jestem pewien, czy dobrze rozumiem, ale myślę, że możesz mylić prawdopodobieństwo warunkowe z warunkowym oczekiwaniem ?

— BCLC,

Myślę też, że dF (x), gdzie F jest cdf, oznacza po prostu f (x) dx. Być może oznacza ?

d F (b)^{N}

$dF(b)^N$

N f (b)^{N - 1} d b

$Nf(b)^{N-1}db$

— BCLC,

1

@BCLC Tak jest, gdy istnieje f (x). Pojawia się, gdy próbuję znaleźć oczekiwanie na drugą najwyższą ofertę, którą musimy zintegrować tylko z ponieważ oczywiście nie jest ona wyższa niż pierwsza najlepsza oferta . Moje główne obawy dotyczą tego, dlaczego używamy co jest prawdopodobieństwem, że x reprezentuje wszystkie oferty (jest N graczy). Czy nie powinien to zrobić ?

[0, β]

$[0,\beta]$

β

$\beta$

F (b)^{N}

$F(b)^N$

b \geq x s . t .

$b \ge x \ s.t.$

F (b)^{N - 1}

$F(b)^{N-1}$

— hipHopMetropolisHastings

4

Licytuje . Dbamy więc tylko o drugą najwyższą ofertę. To tak samo, jak znalezienie najwyższej oferty spośród pozostałych oferentów. Oczekiwaną drugą najwyższą ofertę daje: $N+1$ $N$

b \cdot P r [b] \cdot P r [b \geq b_{- i}] = b \cdot f (b) \cdot F (b)^{N - 1} = b \cdot d F (b)^{N}

$b \cdot Pr[b] \cdot Pr[b \geq b_{-i}] = b \cdot f(b) \cdot F(b)^{N-1} = b \cdot dF(b)^{N}$

Ponieważ wartość oczekiwana jest średnią, dzielimy przez prawdopodobieństwo, że , czyli $b \leq \beta$ $F(\beta)$ .

Mamy zatem:

E [b^{[2]} | b^{[2]} \leq β] = \frac{1}{F (β)} \int_{0}^{β} b d F (b)^{N}

$\mathbb{E}[b^{[2]} | b^{[2]} \leq \beta] = \dfrac{1}{F(\beta)}\int_{0}^{\beta} bdF(b)^{N}$

— ml0105
źródło

0

Biorąc pod uwagę, że s są niezależnie i identycznie dystrybuowane na z CDF i PDF , a oznacza drugą najwyższą ofertę, chcemy znaleźć . Aby to zrobić, najpierw znajdziemy rozkład . $b_i$ $[0,1]$ $F$ $f$ $b^{[2]}$ $\mathbb{E}(b^{[2]}|b^{[2]}\leq \beta)$ $b^{[2]}$

Pr (b^{[2]} \leq x) = N [1 - F (x)] [F (x)]^{N - 1} + [F (x)]^{N} = N [F (x)]^{N - 1} - (N - 1) [F (x)]^{N}

$\Pr(b^{[2]}\leq x) = N[1-F(x)][F(x)]^{N-1} + [F(x)]^{N}= N[F(x)]^{N-1} - (N-1)[F(x)]^{N}$ gdzie

oznacza liczbę oferentów. Zatem gęstość

wynosi

W konsekwencji gęstość warunkowa

przy

biorąc pod uwagę, że

N

$N$

b^{[2]}

$b^{[2]}$

N (N - 1) (1 - F (x)) [F (x)]^{N - 2} f (x)

$N(N-1)\left(1 - F(x)\right)[F(x)]^{N-2}f(x)$

b^{[2]}

$b^{[2]}$

x \in [0, β]

$x\in [0, \beta]$

to

b^{[2]} \leq β

$b^{[2]}\leq \beta$

Dlatego

\frac{N (N - 1) (1 - F (x)) [F (x)]^{N - 2} f (x)}{Pr (b^{[2]} \leq β)}

$\dfrac{N(N-1)\left(1 - F(x)\right)[F(x)]^{N-2}f(x)}{\Pr(b^{[2]}\leq \beta)}$

E (b^{[2]} | b^{[2]} \leq β) = \frac{1}{Pr (b^{[2]} \leq β)} \int_{0}^{β} x N (N - 1) (1 - F (x)) [F (x)]^{N - 2} f (x) d x

$\mathbb{E}(b^{[2]}|b^{[2]}\leq \beta) = \displaystyle\frac{1}{\Pr(b^{[2]}\leq \beta)}\int_0^\beta xN(N-1)\left(1 - F(x)\right)[F(x)]^{N-2}f(x)dx$

— Amit
źródło