Zgadnij i zweryfikuj

W programowaniu dynamicznym metoda nieokreślonych współczynników jest czasami znana jako „zgadnij i zweryfikuj”. Od czasu do czasu słyszałem, że istnieją kanoniczne domysły.

W szczególności widziałem

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Pierwsze dotyczy narzędzia do logowania, drugie dotyczy preferencji CRRA. Jakie inne przypuszczenia kanoniczne istnieją i czy są one ogólnie związane z określoną formą funkcji powrotu?

Edycja : Dla tych, którzy nie są zaznajomieni z programami dynamicznymi, staramy się wymyślić zamknięte formularze dla współczynników ( np. i ). Aby nadmiernie uprościć, równanie funkcjonalne zwykle przyjmuje postać ogólną , gdzie g (\ cdot, \ cdot) opisuje ewolucję zmiennej stanu k . Zasadniczo wartość bycia w państwowej k dzisiaj zależy od dzisiejszej funkcji powrotnej F (k, u) , a niektóre zdyskontowana wartość cokolwiek k będzie jutro \ beta V \ Bigl (g (k, u) \ bigr) . u$A$$B$$V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$$g(\cdot,\cdot)$$k$$k$$F(k,u)$$k$$\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$$u$ reprezentuje wszelkie inne zmienne niepaństwowe, które Twoim zdaniem wpływają na zwrot.

Czasami możliwe jest uzyskanie rozwiązania w formie zamkniętej dla $V(k)$ (... uwaga: nie rozwiązujemy tylko $V(k)$ ponieważ prawa strona to zmaksymalizowana ilość). Zazwyczaj wymaga to znajomości funkcji zwracającej $F(k,u)$ a następnie zgadywania o funkcjonalnej formie $V(k)$ . Możemy następnie iterować, aby sprawdzić, czy nasze domysły dają rozwiązanie w postaci zamkniętej dla $V(k)$ . W szczególności obejmowałoby to formy zamknięte dla zgadywanych współczynników (stąd metoda nieokreślonych współczynników).

Inną, nieco kanoniczną formą jest funkcja wartości dla preferencji wrażliwych na ryzyko, gdy konsumpcja następuje losowo z dryfem (istnieją również wersje z kapitałem - patrz Backus Ferriere Zin 2014).

$$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$$

Rozpocznij od preferencji podanych jako Epstein-Zin z funkcją równoważności pewności w postaci :$\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

$$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$$

wtedy pozwolenie daje nam$\rho \rightarrow 0$

$$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$$ $$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$$

Zapisywanie dzienników daje nam wrażliwe na ryzyko preferencje przedstawione w Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000 itp.

Zdefiniuj i a następnie zobaczymy, że:$U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$$\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

$$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$$

Formę tej funkcji wartości można odgadnąć jako:

$$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$$

Bibliografia:

• David Backus, Axelle Ferriere i Stanely Zin. Ryzyko i niejednoznaczność w modelach cykli koniunkturalnych. Konferencja Carnegie-Rochester-NYU. 2014.
• Lars Ljunqvist i Thomas J. Sargent. Rekurencyjna teoria makroekonomiczna, wydanie trzecie. 2013.
• TD Tallarini Jr. Realne cykle biznesowe wrażliwe na ryzyko. Journal of Monetary Economics. 2000
• LP Hansen i TJ Sargent. Zdyskontowana liniowa wykładnicza kwadratowa kontrola gaussowska. IEEE Trans Automatic Control. 1995.

Komentarz dodatkowy: Dwa prezentowane przypadki są mniej więcej objęte domysłem ponieważ ogranicza się to do logów jako . Domysły są z pewnością powiązane z konkretną postacią funkcji zwrotu, ponieważ funkcja wartości jest powiązana z funkcją zwrotu z jednego okresu (nagrody) wielokrotnie uzyskiwaną w nieskończonej historii (gdyby zużycie było stałe, wówczas zmniejszyłoby się do sumy geometrycznej).$V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$$\sigma \rightarrow 1$