Minimalizacja kosztów kombinacji czynników produkcji

Biorąc pod uwagę funkcję produkcji i wiedząc, że cena P Px = 30, P_y = 20, P_z = 5 i objętość produkcji D = 200 . Ile x, yiz jest potrzebne do zminimalizowania kosztów?$D(x,y,z)=\min\{2x, \left( 2y+4z\right)\}$$P_x=30,P_y=20,P_z=5$$D=200$

Wiem, że powinienem napisać: $2x=2y+4z=200$ ale jak znaleźć odpowiednie wartości dla x, yiz? Ogólnie myślę, że powinienem to napisać, ponieważ czynniki te się uzupełniają, dlatego każdy z „składników” funkcji powinien być równy 200, co stanowi wielkość produkcji.

Jedyne, co udało mi się zrobić, to odgadnąć liczby: $x=100,z=50, y=0$ . Czy istnieje metoda uzasadniająca, że ​​liczby te zminimalizują funkcję?

Praca z funkcjami (lub ) może być trudna, szczególnie jeśli chce się zapisać ogólne rozwiązanie w całkowicie rygorystyczny sposób.$\min$$\max$

Ale w twoim przypadku masz proste funkcje liniowe i podany liczbowo stały poziom produkcji ( ), dla którego chcesz zminimalizować koszty. $200$

Po pierwsze, upewnij się, że rozumiesz wyrażenie wyrażenia funkcji produkcyjnej i jakie to stwarza ograniczenia: Często spotykanym początkowym podejściem jest myślenie $\min$

„ah, to oznacza albo jedno, albo drugie. Więc użyję tylko , * lub * kombinacji i i być może tylko jednego z dwóch. Nie ma sensu kupować, powiedzmy , jeśli produkcja jest określone przez połączenie i ”.$x$$y$$z$$x$$y$$z$

Jaki jest błąd w tym rozumowaniu? A co implikuje rozwiązanie błędu?

Następnie zastanów się, co to znaczy chcieć zbadać tylko określony stały poziom produkcji: po prawej stronie masz funkcję . Po lewej stronie masz konkretny numer , a nie ogólną etykietę / symbol. Masz więc równanie , a nie funkcję. A potem masz funkcję kosztów. I chcesz zminimalizować funkcję kosztu biorąc pod uwagę równanie i biorąc pod uwagę to, co sugeruje wspomniana wcześniej „błędna rozdzielczość” .$\min$

Weź to stamtąd.

I proszę, kiedy to wymyślisz, opublikuj je jako odpowiedź tutaj (możesz odpowiedzieć na własne pytanie, jest w porządku, a nawet zachęcane).