Odchylenie OLS w szacowaniu popytu: odchylenie zawsze nie docenia elastyczności popytu?

10

Niektóre dokumenty twierdzą, że OLS może generować mniej stronniczości niż szacowanie IV w zależności od jakości twoich instrumentów. Załóżmy, że bierzemy pod uwagę równanie szacowania popytu.

Załóżmy, że elastyczność popytu jest ujemna w OLS. Według mojej intuicji słabe instrumenty powinny generować tendencyjne szacunki względem OLS, ale nie mniej negatywne. Czy potraficie podać przykład? Naprawdę nie rozumiem, w jaki sposób mogłoby to prowadzić do bardziej stronniczego oszacowania z oszacowaniem IV.

econometrics

— nieznany z nazwiska
źródło

IV jest stronniczy, ale spójny, więc wyobrażam sobie, że twoje stwierdzenie jest prawdziwe. ale przypuszczam, że wszystko zależy od twoich celów. przewidywanie a wnioskowanie.

— user157623

Jakie są „niektóre artykuły” (najlepiej te dobrze znane lub podświetlone), o których mowa w pierwszym zdaniu? Jestem zainteresowany ich spojrzeniem. Dzięki.

— Kim Jong Un

8

Zwykle . Mianownik przejdzie do zera. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Jest to prawdą, chyba że istnieje pewna korelacja między instrumentem a wartością błędu, a mianownik jest siłą związku między instrumentem a zmienną endogenną. Im mniejszy mianownik, tym większe odchylenie . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Ponadto słaby instrument nie będzie miał precyzji, więc wariancja będzie miała duże odchylenie w górę.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

Ponieważ $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Dlatego jeśli twój instrument jest słaby, być może lepiej będzie uruchomić regresję OLS.

— Nox
źródło

W równaniu dla pierwszej wariancji estymatora IV uważam, że brakuje wariancji obiektywnej wersji beta - prawda? Wariancję przypisujesz tylko do części związanej z odchyleniem estymatora IV. Jeśli się mylę, proszę wyjaśnij mi, czego mi brakuje.

— John Doe

Wiersz następujący po „ ” nie jest dokładnie wariancją (również licznik pomija notację kwadratową, tylko literówka). Mianownik jest losowy (ponieważ są endogenne), a wariancja jest znacznie bardziej skomplikowana.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

6

Słabe instrumenty w połączeniu z lekką endogennością instrumentalną mogą prowadzić do większego odchylenia niż OLS. Jak pokazuje odpowiedź Nox, granica prawdopodobieństwa estymatora IV wynosi . Gdy małe, jeśli jest małe, to odchylenie może być duże. Patrz uwaga Bounda, Jaegera i Bakera (1995, JASA) zgodnie z równaniem (7) na stronie 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

„Z równania (7) jasno wynika, że słaba korelacja między potencjalnie zmienną endogenną i instrumentami, , zaostrzy wszelkie problemy związane z korelacją między instrumentem a błędem, . Jeśli korelacja między instrument i endogenna zmienna objaśniająca są słabe, wówczas nawet niewielka korelacja między instrumentem a błędem może spowodować większą niespójność w oszacowaniu IV niż w oszacowaniu OLS. ” $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Bez instrumentalnej endogeniczności nie sądzę, aby stronniczość estymatora IV (rozkładu granic, może nie istnieć limit prawdopodobieństwa) jest większa niż niespójność OLS.

Inną rzeczą do rozważenia jest to, że wariancja estymatora IV przy użyciu bardzo słabych instrumentów może być duża, nawet przy bardzo dużym , a zatem możesz mieć oszacowanie IV bardziej nonsensowne niż OLS dla zbioru danych przypadkowo. $n$

— chan1142
źródło