PBE typu „weź lub zostaw”

Znalazłem interesujące pytanie dotyczące idealnej równowagi bayesowskiej. Nie widziałem pytania, w którym przekonania nie są dyskretne.

Istnieje jeden potencjalny nabywca przedmiotu, który ma zerową wartość dla sprzedającego. Wycena v tego nabywcy jest równomiernie rozłożona na [0, 1] i jest informacją prywatną. Sprzedawca podaje cenę $p_1$ które kupujący akceptuje lub odrzuca.

Jeśli zaakceptuje, przedmiot jest sprzedawany po ustalonej cenie, a wypłata kupującego wynosi $v − p_1$ a sprzedawca jest $p_1$ .

Jeśli odrzuci, sprzedawca składa kolejną ofertę cenową, p2. Jeśli kupujący to zaakceptuje, jego wypłata wynosi $\delta_(v − p_2)$ a sprzedawca jest $\delta p_2$ , gdzie $\delta = 0.5$ .

Jeśli odrzuci, obaj gracze otrzymają zero (nie ma żadnych dalszych ofert).

Znajdź idealną równowagę bayesowską.

Moje zwykłe podejście polega na utrwalaniu przekonań, ale nie do końca wiem, jak to robić z ciągłymi przekonaniami. Jakakolwiek rada?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Brian
źródło

Przepraszam, nie mogłem wymyślić łatwego sposobu udzielenia częściowej porady. To miłe ćwiczenie. Czy mógłbyś (lub twórca) pomyśleć, gdybym użył go w klasie?

— Giskard

Oczywiście nie krępuj się!

— Brian

Po opublikowaniu wczoraj złego rozwiązania, wydaje mi się, że mam lepsze:

Strategia kupującego składa się z dwóch funkcji, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ gdzie obie funkcje odwzorowują $\left\{A,R\right\}$ (gdzie $A$ oznacza Akceptuj, $R$ do odrzucenia). Strategia sprzedawcy to $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ . Otrzymujesz rozwiązanie poprzez indukcję wsteczną. W PBE $f_2(v,p_1,p_2)$ mapy do $A$ wtedy i tylko wtedy gdy $v \geq p_2$ . (Równość jest nieistotna.) W PBE sprzedawca uważa, że istnieje zbiór $H$ rodzajów, dla których kupujący odrzucił jej ofertę $p_1$ . Następnie

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ Kupujący zaakceptuje ofertę wtedy i tylko wtedy, gdy Otrzymasz z tego Lewa strona tego równania rośnie w , więc typy o wysokiej wycenie zaakceptują. Oznacza to, że w PBE zestaw jest taki, że Z tego otrzymujemy optymalne podane : W PBE jest funkcją :

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ więc Ustaliliśmy wszystkie strategie PBE, ale . Oczekiwana wypłata sprzedawcy to gdzie Zastępujemy to

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Musisz zmaksymalizować to wrt . Przy dostałem $p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
źródło

Wydaje mi się, że to pytanie można również interpretować jako firmę próbującą sprawdzić konsumentów różnych wycen reprezentowanych jako zamknięty przedział jednostkowy. Optymalny system cenowy polega na ustaleniu dwóch cen, tak aby klienci o wysokich wycenach zapłacili po wyższej cenie na pierwszym etapie, a niektórzy o niskich wycenach zapłacą po niższej cenie na drugim etapie.

— Pokój światowy Metta

Musisz wyjaśnić, dlaczego narzędzia różnią się w drugiej rundzie. Dla sprzedającego może to być zwykła zniżka, ale dla kupującego? Gdyby dobro było trwałe, to typy, które je kupią, otrzymałyby pewne korzyści w obu rundach.

— Giskard

Nie do końca podążam. Dlaczego kupujący nie mogą zdyskontować użyteczności uzyskanej w drugiej rundzie? Można to interpretować jako dwuletni przegląd cen, prawda?

— Metta World Peace

Żenujące, ale do tej pory nigdy nie słyszałem o tym modelu. Masz rację, to ładnie opisuje powyższą grę.

— Giskard

Powiedziałeś, że kupujący zaakceptuje wtedy i tylko wtedy, gdy ale czy nie odrzuci, jeśli zarówno jak i są większe niż , niezależnie od tego, czy powyższa nierówność jest spełniona?

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$

— Franklin Pezzuti Dyer