Co to jest substytut / uzupełnienie pod względem mieszanych pochodnych częściowych?

10

Próbuję zrozumieć, w jaki sposób substytucyjność odnosi się do mieszanych pochodnych cząstkowych. Myślałem, że zmiana użyteczności krańcowej w odniesieniu do zmiany ilości odpowiada $x$ więc pomyliłem się, gdy częściowo podjąłem decyzję w odniesieniu do. Czy to mierzy szybkość MU zmienia wrtgdy zmieniamy? Jak to się ma do zastępstwa?

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Stan Shunpike
źródło

Jeśli zaczniemy od podstaw: jeśli

jest komplementarne do

to

y

$y$

x

$x$

. Dobrze?

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

13

Bardzo ważne jest, aby zauważyć, że istnieje wiele wzajemnie niespójnych możliwości definiowania substytutu / uzupełnienia.

Jednym ze sposobów, to znaczy, że i są komplementarne, jeżeli wzrost podnosi krańcowa (lub daną symetrii mieszanych podszablonów odwrotnie) $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$ To jest sugestia w odpowiedzi foobara.

Innym sposobem jest powiedzieć, że i są komplementarne jeżeli spadek cen podnosi Hicksian (aka kompensowane) popytu na . Ponieważ popyt Hicksa jest pochodną funkcji kosztu (aka wydatku) lematu Shepharda , można to również wyrazić jako warunek dla części mieszanych: $x$ $y$ $y$ $x$ To jest sugestia w komentarzu snorama i jest to pojęcie częściej nauczane w mikro klasach.

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

Te definicje nie są równoważne! Rzeczywiście, w każdym przypadku tylko z dwoma towarami, te dwa towary muszą być substytutami zgodnie z (2), niezależnie od tego, czy w (1) jest dodatnia, czy nie. $U$

Pojęciom tym można nadać owocne etykiety (chociaż są one bardziej powszechne w przypadku produkcji niż funkcji użytkowych). Następujące Hicks, można nazwać uzupełnia definicji (1) q-komplementarne : jeśli i oznaczają Q-uzupełnia, wzrost ilości z prowadzi do wzrostu krańcowej wartości . Tymczasem możemy nazwać uzupełnienia definicji (2) p-komplementarne : jeśli i są p-komplementarne, co oznacza spadek w cenie od prowadzi do wzrostu popytu na $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ . Zobacz na przykład $x$ Seidman (1989) dla krótkiego przeglądu.

Obie koncepcje są przydatne w różnych sytuacjach - zależy to od tego, co Cię interesuje!

Uwaga techniczna: możesz zauważyć, że (1) i (2) nie wydają się do siebie bardzo podobne: (2) jest pojęciem kompensowanym , utrzymującym nas na tej samej krzywej obojętności, podczas gdy (1) nie. Jest to ważna krytyka i rzeczywiście istnieje alternatywne pojęcie „q-uzupełnień”, które jest kompensowane, i pojęcie „p-uzupełnień”, które nie jest.

$x$ $y$ $U$ , chociaż sam nie mam jego kopii.) Pojęcie to ma również mieszaną charakterystykę częściową, pod względem czegoś, co nazywa się funkcją odległości, która jest fajnym narzędziem mikro teorii, którego nikt się już nie uczy; macierz mieszanych częściowych funkcji odległości nazywa się macierzą Antonellego i jest uogólnioną odwrotnością ukochanej macierzy Słuckiego.

$x$ $y$ $y$ $x$

$y$ $x$ $U$

— nominalnie sztywny
źródło

Czy możesz wyjaśnić, dlaczego równanie 2 implikuje, że muszą one być substytutami?

— Stan Shunpike

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

Tak, ale to wyjaśniło. Jeszcze raz dziękuję za kolejną niesamowitą odpowiedź.

— Stan Shunpike

4

$x =$ $y =$

$y$ $x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

W przypadku naszych butów i gier komputerowych z pewnością pochodna krzyżowa wynosi 0. W przypadku lodów i łyżek najprawdopodobniej jest to pozytywne: Posiadanie łyżki zwiększa marginalną korzyść z lodów, stąd dodatnia korelacja krzyżowa.

Na koniec pomyśl o czekoladzie i lodach. Można argumentować, że działają one jako substytuty (na przykład na przykład pustynię): albo chcesz jednego, albo drugiego. Jeśli dostaniesz je za darmo , to na pewno nie zaszkodzi mieć ich obu. Ale jeśli musisz płacić uczciwe ceny, wolisz zapłacić jedną z opcji i trzymać się tego.

— FooBar
źródło

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$