Dla jakiej funkcji popytu monopol jest najbardziej szkodliwy?

Rozważ firmę o zerowym koszcie krańcowym. Jeśli daje produkt za darmo, wówczas całe zapotrzebowanie jest zaspokojone, a dobrobyt społeczny wzrasta o maksymalną możliwą kwotę; nazwij to wzrostem$W$.

Ale ponieważ firma jest monopolistą, zmniejsza popyt i podnosi cenę w celu optymalizacji swoich przychodów. Teraz zasiłek socjalny wzrasta o mniejszą kwotę, powiedzmy:$V$.

Zdefiniuj względną utratę dobrobytu (utrata masy ciała) jako: $W/V$. Współczynnik ten zależy od kształtu funkcji popytu. Moje pytanie brzmi: czy ten stosunek jest ograniczony, czy może być arbitralnie duży? W szczególności:

• Gdyby $W/V$ jest ograniczona, to dla jakiej funkcji popytu jest ona zmaksymalizowana?
• Gdyby $W/V$ jest nieograniczony, to dla jakiej rodziny funkcji popytu może stać się dowolnie duża?

Oto, co próbowałem do tej pory. Pozwolić$u(x)$być marginalną funkcją użyteczności konsumentów (która jest również funkcją odwrotnego popytu). Załóżmy, że jest skończony, gładki, monotonicznie maleje i skalowany do dziedziny$x\in[0,1]$. Pozwolić$U(x)$być jego pochodną. Następnie:

• $W = U(1)-U(0)$, łączna powierzchnia poniżej $u$.
• $V = U(x_m)-U(0)$, gdzie $x_m$to ilość wytworzona przez monopol. To jest obszar pod$u$ z wyjątkiem części „deadweight loss”.
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = ilość, która maksymalizuje przychody producenta (zaznaczony prostokąt).
• $x_m$ można zwykle obliczyć przy użyciu warunku pierwszego rzędu: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Aby poczuć, jak zachowuje się , wypróbowałem kilka rodzin funkcji.$W/V$

Niech , gdzie jest parametrem. Następnie:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• Warunek pierwszego rzędu daje: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Kiedy , , więc dla tej rodziny jest ograniczone.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Ale co dzieje się z innymi rodzinami? Oto inny przykład:

Niech , gdzie jest parametrem. Następnie:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• Warunek pierwszego rzędu daje: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Kiedy , ponownie , więc tutaj ponownie jest ograniczone.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

I trzeci przykład, który musiałem rozwiązać liczbowo:

Niech , gdzie jest parametrem. Następnie:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• Warunek pierwszego rzędu daje: . Korzystając z tego wykresu desmos , dowiedziałem się, że . Oczywiście to rozwiązanie jest ważne tylko wtedy, gdy ; w przeciwnym razie otrzymamy i nie nastąpi utrata deadweight.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Korzystając z tego samego wykresu, dowiedziałem się, że maleje z , więc jego wartość supremum jest, gdy , i wynosi około 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Czy istnieje inna rodzina funkcji skończonych, dla których może rosnąć w nieskończoność?$W/V$

Dowolnie duży współczynnik powinien wystąpić z krzywą popytu

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Ceny monopolisty na , ale nadwyżka konsumentów, jeśli jest nieskończona, ponieważ obszar pod krzywą popytu zawiera .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$