Zastosowanie matematyki i nieprecyzyjne definiowanie terminów

Jako doktorant ekonomii starałem się poszerzać mój „zestaw narzędzi” matematycznych. Czyniąc to, rozmawiałem z inżynierami, fizykami i matematykami, z których wielu potępiło stosowanie matematyki w ekonomii. Ich argumenty są różne, ale jeden wspólny temat podsumowuje krytyk matematyka Michaela Edesessa :

Ekonomia udaje matematykę, ale to nie matematyka. Jest duża różnica. Żaden matematyk nie używa terminu w formule ani stwierdzeniu twierdzenia, chyba że termin ten został najpierw zdefiniowany z rozdzierającą precyzją.

I chociaż ekonomiści mogą myśleć, że zdefiniowali terminy takie jak „zagregowany popyt” lub „wzrost gospodarczy”, powinni spróbować przeczytać prawdziwą matematykę, aby zobaczyć, jaka jest naprawdę dokładna definicja. Myślę, że ekonomiści pozostawiają dzieło definicji na podstawie sposobu, w jaki terminy są używane w formułach.

Wydaje mi się , że znam dokładną definicję (całkiem kilku) terminów ekonomicznych, ale może Edesess wskazuje na głębsze podstawy matematyczne, których być może nie znam. Czy ktoś mógłby rozwinąć jego argument, a może nawet odeprzeć?

Edesess atakuje coś, co jest tak naprawdę tylko słomianym ekonomistą. Nie jestem pewien, czy on naprawdę rozumie tę dziedzinę. Na początek ekonomia to nie matematyka. Nie twierdzimy, że tak jest. To raczej nauka „stosowana”. Ekonomiści nigdy nie twierdzili, że te definicje są dokładnie takie, jak matematyka. Te definicje są konstrukcjami modelującymi --- są przeznaczone do pracy stosowanej. Ich użycie jest w pewien sposób tymczasowe. Chodzi o to, aby spróbować przekazać pomysł w sposób bardziej precyzyjny niż tylko słowami - ale wszyscy wiedzą, że nie są one tak dokładne, jak byśmy chcieli i nie tak precyzyjne, jak powinny być. Są przeznaczone do dyskusji i późniejszego udoskonalenia. Ale, jak wszyscy naukowcy stosujący wiedzą, musisz gdzieś zacząć, a czasem pomysły najlepiej przekazać w sposób prostszy - jeśli mniej szczegółowy.

Opracowanie lepszych definicji jest ogromną częścią nauki ekonomicznej. Rozważ te przykłady. Gdy w 1932 r. Powstała Fundacja Cowles, jej motto brzmiało „Teoria i pomiary” ( motto przyjęto po raz pierwszy w 1952 r .). Pomiar nie jest łatwą sprawą. Jako kolejny przykład wiele prac Larry'ego Kotlikoffa dotyczyło tego, jak wiele środków fiskalnych nie jest dobrze zdefiniowanymi ekonomicznie pojęciami.

Einstein nauczył nas, że ani czas, ani odległość nie są dobrze zdefiniowanymi pojęciami fizycznymi. Zamiast tego ich pomiar odnosi się do naszego układu odniesienia - jak szybko podróżowaliśmy we wszechświecie i w jakim kierunku. Nasze fizyczne ramy odniesienia mogą być postrzegane jako nasza konwencja językowa lub dotycząca etykietowania. ... Kotlikoff wraz z Jerry Greenem z Harvardu przedstawili ogólny dowód na to, że deficyty i szereg innych konwencjonalnych środków fiskalnych są, z ekonomicznego punktu widzenia, wolne od treści, stwierdzając, że deficyt jest po prostu arbitralnym wymiarem języka modele ekonomiczne z udziałem racjonalnych agentów.

Weźmy także inny przykład obecnego zainteresowania. Ostatnie dzieło Larsa Hansena (laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii z 2013 r.) Skupiło się na trudnościach i ciągłym braku definicji niektórych koncepcji ekonomicznych, w tym „baniek” i ryzyka systemowego. Zobacz jego esej „Wyzwania w zakresie identyfikacji i pomiaru ryzyka systemowego” . Jestem fanem powiedzenia, które przekazuje, przypisanego lordowi Kelvinowi,

Często mówię, że kiedy możesz zmierzyć coś, o czym mówisz, wyrazić to liczbowo, wiesz coś o tym; ale kiedy nie można jej zmierzyć, gdy nie można wyrazić liczbowo, wasza wiedza jest skromna i niezadowalająca: może być początkiem wiedzy, ale w myślach ledwo osiągnąłeś poziom naukowy, niezależnie od tego, sprawa może być.

Zauważa, że ​​„skrócona wersja pojawia się w budynku Social Science Research na University of Chicago”. Tak, tak, ekonomiści (jako naukowcy społeczni) zdecydowanie traktują to poważnie.

Chodzi o to, że ekonomiści doskonale zdają sobie sprawę z problemów związanych z tymi „definicjami”. Są częścią trwających badań w tej dziedzinie; czasami są ignorowani, jeśli ludzie nie myślą, że są problemem pierwszego rzędu; itp...

Ekonomia udaje matematykę, ale to nie matematyka.

Boże, broń, jeśli wybaczysz mi język. Podobnie jak wiele innych dyscyplin naukowych, ekonomia używa matematyki, z pewnością nie jest to matematyka i nigdy nie może stać się matematyką.

Matematyka może czerpać inspirację ze świata rzeczywistego, ale następnie definiuje i pracuje z jej koncepcjami bez względu na to, czy pozostają one związane ze źródłem inspiracji.
Z drugiej strony ekonomia jest zobowiązana do zdefiniowania swoich koncepcji w taki sposób, aby zachować pewien stopień związku z rzeczywistymi aspektami, które próbuje zbadać . A ponieważ „świat rzeczywisty”, który zajmuje się ekonomią, jest światem społecznym , pełnym niepewności i praw, których nikt jeszcze nie odkrył, z tego wynika, że ​​ekonomia nigdy nie może osiągnąć „bolesnej precyzji” i pozostaje aktualna . Więc co? Ekonomia to nie matematyka, już to powiedzieliśmy. Ekonomia jest trudniejszaniż matematyka, właśnie dlatego, że nie może narzucić sobie takiej precyzji i pozostać użyteczna. Ale przestrzega metody naukowej, dlatego zamiast ograniczać się do argumentów słownych, próbuje je „matematycznie” (to znaczy użyć języka symbolicznego), aby mogli być bardziej transparentni i skoncentrowani na swoich wnioskach i wewnętrznej spójności .

O wiele łatwiej byłoby stworzyć werbalne traktaty, że najpierw wymagałoby to rundy analizy semantyki, a następnie, jeśli ta runda w końcu się gdzieś zakończy, omówienie argumentu per se . Ale kiedy umieścimy to w języku symbolicznym, usuwamy mgłę i pozwalamy, aby nasze przesłanki (a więc nasze ograniczenia i niedoskonałości ) świeciły dla wszystkich zainteresowanych. To właśnie nazywam rzetelnością naukową w naukach społecznych i dlatego uważam ekonomię za awangardę nauk społecznych.

Definicje w matematyce

Dziedzina matematyki to znacznie więcej niż tylko aplikacje. W rzeczywistości zastosowania są wynikiem faktycznej matematyki, która ma postać dowodów i twierdzeń. Na przykład w teorii pierścieni matematycy musieli to udowodnić a * 0 = 0dla wszystkich wartości a. Poniżej znajduje się dowód: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Zastosowania tego przynoszą korzyści wielu osobom, gdy są używane do pokazania 5 * 0 = 0, ale jest to jedynie wynik szerszego, który został udowodniony.

Jak zbudowane są te dowody? Poprzez definicje. Aby udowodnić powyższy wynik, nie mogliśmy tego założyć a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; zamiast tego musieliśmy użyć definicji „pierścienia”, który z definicji pozwala na linię (1). Podobnie musieliśmy użyć definicji „pierścienia”, aby wiedzieć, że wolno nam używać -(a * 0)w wierszu (2).

Definicje w ekonomii

Ekonomia nie wykorzystuje jednak definicji w tej samej pojemności. Tutaj definicje są używane wyłącznie do „definiowania terminów”, a nie do „relacji terminów”. W ekonomii nie można udowodnić, że w krótkim okresie zwiększenie podaży pieniądza (co powoduje inflację) zmniejszy bezrobocie. Definicje w ekonomii nie zostały stworzone w tym celu; tym bardziej, że nie mogą tego zrobić.
Jednym z powodów, dla których definicje w ekonomii nie mogą tego zrobić, jest to, że są to definicje. Pomyśl o terminach „dobry”, „rynek” i „popyt”. Wszystkie te terminy mają niechlujne definicje. Nie odnoszą się tak naprawdę do niczego innego. Z drugiej strony mamy terminy takie jak „waluta” i „PKB”, które mają obszerne, precyzyjne definicje. Definicje te zostały wybrane celowo, dlatego pomiary „waluty” i „PKB” są z tego powodu precyzyjne.
Inna część tego, dlaczego ekonomia ma „słabe” definicje, wynika z samego studium ekonomii. Ekonomia w dużej mierze opiera się na popycie osób fizycznych. Żądanie to nie może zostać określone ilościowo, ani nie ma żadnej gwarancji, że pozostanie takie samo z jednej chwili na drugą. Tak więc nie ma prawdziwego sposobu na skonstruowanie dowodu, który byłby prawdziwy poza konkretnym momentem. Z tego powodu ekonomia nie potrzebuje rygorystycznych definicji. Jednak w matematyce możemy konstruować dowody niezależnie od liczb, których używamy, a tym samym przekraczać ograniczenia do bardzo szerokiego kontekstu. W powyższym dowodzie użyliśmy azamiast liczby, więc nie musieliśmy polegać na użyciu tego numeru i tylko tego numeru. Używając awiemy, że pomnożenie dowolnej liczby 0da nam 0.

Odpowiedź na Edesess

Edesess jest w większości (prawdopodobnie 95%) poprawny. W rzeczywistości większość definicji ekonomii nie jest „precyzyjnie zdefiniowana” na tym samym poziomie, na jakim muszą znajdować się definicje matematyczne. W matematyce definicje są uważnie rozważane i podejmowane przez społeczność matematyczną jako całość (nie mówiąc już, że nie są to definicje ekonomiczne, ale to jest poza moją wiedzą). Ponadto, z natury ekonomii, użycie definicji nie może być wykorzystane do udowodnienia czegokolwiek.
Jednak w odpowiedzi na Edesess ekonomia nie powinna być traktowana jako matematyka z powodu fundamentalnych różnic w sposobie dokonywania odkryć. Ekonomia jest rozwijana poprzez ankiety, dane rynkowe, wykresy podaży i popytu; Matematyki towarzyszą badania, dowody i twierdzenia.

Krytyka Edesessa nie trafia w sedno. Rzeczywistość jest znacznie głębsza niż zwykłe niewłaściwe użycie matematycznych definicji.

Od prawdziwości wyrażenia matematycznego zależy dużej mierze od możliwości odtworzenia dowolnych definicji użytych do aksjomatycznego poziomu logicznego . W tym sensie, nie znajdzie żadnego matematyk dziko używając definicji , która nie może być zredukowana do matematycznie / logicznie prawdziwe zasób wiedzy, który już istnieje. Ale to jest oczywiste.

W dziedzinie nauk stosowanych (biologia, medycyna, inżynieria itp.) Zaczyna się od prawdziwego problemu (dziedziny problemowej) lub zjawiska i modeluje problem w języku matematyki. Celem jest rozwiązanie / badanie / symulacja problemu matematycznego, aby móc powiedzieć coś o prawdziwym problemie.

Krytyka jest rzeczywiście o matematyczno-zację ekonomii (który rozpoczął się z 50-Samuelsona w 60-tych). Twierdzenie jest takie, że niektórzy ekonomiści dokonują transformacji do dziedziny matematyki i tracą z oczu pierwotny problem i nigdy nie przechodzą z powrotem do dziedziny problemów (tj. Interakcji ludzi, firm, zasobów itp.). Ekonomiści ci wydają się zadowoleni z formułowania liniowych relacji algebraicznych lub rozwiązywania wektorowych równań auto-regresywnych, bez empirycznego uzasadnienia - lub gorzej - twierdząc, że ekonomia ta jest ważniejsza niż względy krótkoterminowe (tj. Mojej teorii nie można sfalsyfikować w żadnym z naszych okresów życia).

Istnieje wiele przykładów tego. Jednym z oczywistych jest tak zwana teoria równowagi ogólnej - która nie tylko okazała się matematycznie wadliwa (poprzez wiele równowag (patrz twierdzenie Sonnenschein, Mantel, Debreu)) w latach 70.), ale zakłada się, że nie ma w niej żadnej treści empirycznej. W rezultacie, niektórzy ekonomiści wolą pozostać w dziedzinie matematycznej - być może goniąc za bardziej dokładnym modelem (GE obliczalny, dynamiczny GE, stochastyczny GE, dynamiczny stochastyczny GE itp.) - stąd błędnie rozumiana krytyka, którą ekonomiści podają się za matematyków . Można by argumentować, że tacy ludzie są bardziej precyzyjnie opisani jako pseudo-matematycy, udający ekonomistów (w sensie problemowym).