Rozszerzenia równowagi Nasha do gier z nieskończonymi strategiami

W podręczniku Jehle i Reny (który powinienem dodać, że nie przeczytałem wiele poza kilkoma interesującymi sekcjami), udowodniono twierdzenie, że zawsze istnieje (mieszana) równowaga Nasha w skończonych grach strategicznych. Książka zakłada, że wszyscy gracze mają taką samą liczbę dostępnych akcji, ale nietrudno wyobrazić sobie, jak można to rozszerzyć na przypadek, w którym nie jest to prawdą.

Interesuje mnie jednak to, czy jest to rozszerzenie na gry, szczególnie te, w których mogą istnieć nieskończone możliwości wyboru. Na przykład wyraźnie nie ma równowagi w grze, w której gracz wygrywa, wybierając najwyższą liczbę, ale jeśli mamy na przykład tę samą grę, ale gdzie liczba musi znajdować się w przedziale (lub dowolnym przedziale który zawiera górną granicę), najlepsze funkcje odpowiedzi „zbiegają się”. Podobnie podejrzewałbym również, że w modelach konkurencji muszą istnieć „dobrze wychowane” funkcje kosztów i popytu, aby uzyskać „dobre” wyniki. $[0, 100]$

Jako takie mam dwa pytania:

Czy istnieje jakieś dobrze zdefiniowane ustawienie, w którym gra z nieskończonymi wyborami strategii będzie miała równowagę Nasha?
Jaka byłaby dla tego odpowiednia lektura?

game-theory reference-request

Odpowiedzi:

Tak, jest takie ustawienie. Rezultat jest taki

Jeśli pole strategii każdego gracza to

wypukły

kompaktowy

a jeśli wypłaty są ciągłe, wówczas istnieje przynajmniej jedna równowaga Nasha (być może w strategiach mieszanych).

Dzieje się tak nawet wtedy, gdy zestaw możliwych działań jest nieskończenie nieskończony. Jeśli dodatkowo założy się, że wypłaty są quasiconcave, to korespondencja z najlepszą odpowiedzią będzie wypukła, nawet jeśli ograniczymy uwagę do czystych strategii, aby zagwarantować nam co najmniej jedną równowagę w czystych strategiach w takiej grze.

Wierzę, że oryginalne odniesienie jest tutaj

IL Glicksberg. „ Dalsze uogólnienie twierdzenia o punkcie stałym Kakutani, z zastosowaniem do punktów równowagi Nasha ”. Proceedings of the American Mathematical Society , 3 (1): 170–174, 1952.

Leczenie zawarte w pracy Glicksberga nie wydaje się dostępne. Dobrym początkowym odniesieniem jest bardziej sekcja 1.3 książki Fudenberg & Tirole „Teoria gry” .

— Wszechobecny
źródło

Czy „zamknięte i ograniczone” niekoniecznie oznacza „wypukłe i zwarte”? Mogę sobie wyobrazić zamknięte i ograniczone regiony w, powiedzmy, , które nie byłyby wypukłe.

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

Nie, uwaga zamknięta i ograniczona odnosi się do zwartości: definicja zestawu zwartego to definicja zamknięta i ograniczona.

— Wszechobecny

Przepraszam, źle odczytałem położenie „i”.

W rzeczywistości cytowany artykuł Glicksberg działa wyraźnie w kontekście, w którym ta charakterystyka zwartości nie jest prawdziwa --- w znormalizowanej przestrzeni wektorowej, zamkniętej i ograniczonej w normie, sugeruje jedynie słabą * zwartość.

— Michael

@densep W dopasowywanej grze grosze dostępne akcje są dyskretne, dlatego gra ma niewypukłą przestrzeń strategiczną, więc pierwszy warunek w powyższym zestawieniu się nie powiedzie.

— Wszechobecny

Chociaż zwartość i wypukłość jest nadal potrzebna, poniższe odniesienie dotyczy istnienia gier w przestrzeni wektorowej z pewnymi rodzajami nieciągłości.

Reny, P. (1999) „O istnieniu czystej i mieszanej strategii równowagi Nasha w nieciągłych grach”, Econometrica 67, 1029-1056

— Adamowski
źródło