Jak uzyskać funkcję produkcji Leontiefa i Cobba-Douglasa z funkcji CES?

W większości podręczników dotyczących mikroekonomii wspomniana jest funkcja produkcji stałej elastyczności substytucji (CES),

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(gdzie elastyczność podstawienia wynosi ), ma za granicę zarówno funkcję produkcji Leontiefa, jak i Cobba-Douglasa. Konkretnie, $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

Ale nigdy nie dostarczają matematycznego dowodu tych wyników.

Czy ktoś może dostarczyć te dowody?

Co więcej, powyższa funkcja CES zawiera stałe powroty do skali (jednorodność stopnia pierwszego), ponieważ wykładnik zewnętrzny wynosi $-1/\rho$ . Gdyby tak było, powiedzmy $-k/\rho$ , wówczas stopień jednorodności wynosiłby $k$ .

W jaki sposób wpływają na wyniki ograniczające, jeśli $k\neq 1$ ?

— Huseyin
źródło

To wydaje się być zadaniem domowym bez wcześniejszego wysiłku, aby je rozwiązać, patrz: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

Jest to z pewnością temat tematyczny, ale pytanie niskiej jakości . Nawet jeśli nie jest to praca domowa Huseyin, oczekujemy od ciebie: a) Uważaj na swoją notację (użyłeś

ρ

$\rho$ i

p

$p$ ) ib) Podziel się przemyśleniami i sposobami, w jakie próbowałeś rozwiązać problem. Jesteśmy tutaj, aby pomagać ludziom, którzy sami sobie pomagają , a nie oferować profesjonalne usługi pro bono.

— Alecos Papadopoulos

Matematyka robi różne rzeczy w zasadzie dla całej reszty sieci wymiany stosów. Tylko na stronie math.se możesz zgłaszać problemy innym osobom do rozwiązania bez wykazania wysiłku. Proszę zachować tego rodzaju pytanie do matematyki.se, nie tutaj.

— EnergyNumbers

Kiedy powiesz „Muszę udowodnić” bez żadnego wskazania, dlaczego musisz to udowodnić, ludzie zakładają, że to zadanie domowe.

— Steven Landsburg

@Huseyin Teraz, gdy pytanie zostało ponownie otwarte i udzielono odpowiedzi, czy nie opublikujesz odpowiedzi na limit Cobba-Douglasa?

— Alecos Papadopoulos,

Odpowiedzi:

Przedstawione przeze mnie dowody opierają się na technikach związanych z faktem, że funkcja produkcji CES ma postać uogólnionej średniej ważonej .
Zostało to wykorzystane w oryginalnym artykule, w którym wprowadzono funkcję CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS i Solow, RM (1961). Zastępowanie kapitału i pracy oraz efektywność ekonomiczna. Przegląd ekonomii i statystyki, 225–250.
Tam autorzy odnieśli swoich czytelników do książki Hardy, GH, Littlewood, JE i Pólya, G. (1952). Nierówności , rozdział . $2$

Rozważamy ogólny przypadek

Q_{k} = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) Limit, gdy $\rho \rightarrow \infty$
Ponieważ interesuje nas limit, gdy , możemy zignorować interwał, dla którego , i traktować jako ściśle pozytywne. $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

Bez utraty ogólności załóżmy, że . Mamy również . Następnie sprawdzamy, czy występuje następująca nierówność: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ Q_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

podnosząc do poziomu mocy aby uzyskać $\rho/k$

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$ który rzeczywiście trzyma się, biorąc pod uwagę założenia. Następnie wróć do pierwszego elementu i

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

która umieszcza środkowy wyraz w na , więc $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

Zatem dla otrzymujemy podstawową funkcję produkcji Leontiefa. $k=1$

2) Ogranicz, gdy $\rho \rightarrow 0$
Napisz funkcję używając wykładniczej jako

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

Rozważ rozszerzenie Maclaurin pierwszego rzędu (rozszerzenie Taylora wyśrodkowane na zero) terminu wewnątrz logarytmu, w odniesieniu do : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

Włóż to z powrotem do i pozbądź się zewnętrznego wykładnika, $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

Jeśli jest nieprzezroczysty, zdefiniuj i ponownie napisz $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

Teraz wygląda jak wyrażenie, którego granica w nieskończoności da nam coś wykładniczego:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

Stopień jednorodności funkcji jest zachowany, a jeśli otrzymujemy funkcję Cobba-Douglasa. $k$ $k=1$

To właśnie ten ostatni wynik, który wykonany Strzałek i Co zadzwonić parametr „dystrybucja” funkcji CES. $a$

— Alecos Papadopoulos
źródło

Regularna metoda zdobywania Cobba-Douglasa i Leotiefa jest regułą L'Hôpital .

Należy również zastosować inne metody. Ustawienie zostanie zwrócone i Przez Łączną pochodną za pomocą różnic będziemy mieli Przy niektórych manipulacjach otrzymamy nasze główne równanie. $\gamma=1$ $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

Q^{- ρ} = [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - a ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - a) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$

d Q = a {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - a) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

Funkcja liniowa : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Funkcja Cobba-Douglasa : Wyjęcie całki z obu stron dałoby wynik

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = a (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$

\int \frac{1}{Q} d Q = a \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - a) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{a} L^{(1 - a)} e^{C} = A K^{a} L^{(1 - a)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

Funkcja Leontief : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
źródło

(+1) Szczególnie podoba mi się sposób uzyskiwania funkcji Cobba-Douglasa.

— Alecos Papadopoulos,

Dzięki @AlecosPapadopoulos. ale nie wiem, dlaczego niektórzy jeszcze nie lubią tego postu? Myślę, że tego rodzaju pytania mogą przynajmniej wywołać burzę mózgów.

— Huseyin

Ściśle mówiąc, Huseyin, mają rację: powinieneś ująć przynajmniej część swojej odpowiedzi w swoim pytaniu : „oto mój sposób robienia rzeczy, czy jest jakiś inny sposób?”

— Alecos Papadopoulos,

Czy przyjęcie różnicy i całkowanie jest „równoważne” z przekroczeniem limitu? Ogólnie, czy możemy wziąć różnicę i zintegrować, aby znaleźć limit? Czy to jest specjalna aplikacja?

— PGupta