Układanka Common Knowledge and the Red Hats

Oto łamigłówka, która ma pomóc wyjaśnić powszechną wiedzę z zakresu teorii gier. Trzy dziewczyny siedzą w kręgu, każda w czerwonym lub białym kapeluszu. Każdy może zobaczyć kolor wszystkich czapek oprócz własnego. Załóżmy teraz, że wszyscy noszą czerwone czapki.

Mówi się, że jeśli nauczyciel ogłosi, że co najmniej jeden z czapek jest czerwony, a następnie kolejno pyta każdą dziewczynę, czy zna kolor kapelusza, trzecia pytana dziewczyna będzie wiedziała, że ​​jej kapelusz jest czerwony. Rozumiem tam rozumowanie. Pierwszy musiał widzieć przynajmniej jeden czerwony kapelusz z dwóch pozostałych, żeby powiedzieć, że nie wiem. A druga dziewczyna musiała zobaczyć czerwony kapelusz na trzeciej, bo inaczej wywnioskowałaby, że pierwsza dziewczyna widziała na niej czerwony kapelusz.

To, czego nie rozumiem, to konieczność nauczyciela. Wszyscy wiedzą, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz. A jeśli zaczniemy od wspólnej wiedzy, powinni dowiedzieć się, że wszyscy inni to wiedzą. Czy nauczyciel jest wprowadzany tylko wtedy, gdy powszechna wiedza nie jest założeniem?

Źródło: http://cowles.econ.yale.edu/~gean/art/p0882.pdf

Bez nauczyciela wszyscy wiedzą, że jest co najmniej czerwony kapelusz, ale nikt nie wie, że wszyscy wiedzą - fakt nie jest powszechną wiedzą.

Wraz z wprowadzeniem nauczyciela

• Dziewczyna 1 nie odpowiada. Ze względu na powszechną wiedzę 2 i 3 mogą rozumować: „1 wie, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz, a ponieważ nie zna koloru kapelusza, 2 i / lub 3 muszą mieć czerwony kapelusz.

Bez wprowadzenia nauczyciela

• Dziewczyna 1 nie odpowiada. Bez powszechnej wiedzy nic nie 2 i 3 nie może uzasadnić ich wcześniejszej wiedzy: 2 będzie wiedziało, że 3 ma czerwony kapelusz, a 3 będzie wiedział, że 2 ma czerwony kapelusz. Nic więcej.

Innymi słowy: bez nauczyciela zestaw wiedzy to:

• 1: 2 + 3 mają czerwone czapki
• 2: 1 + 3 mają czerwone czapki
• 3: 1 + 2 mają czerwone czapki

Nauczyciel działa jako aplikator dodatkowej wiedzy:

• 1: 2 + 3 oboje wiedzą, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz
• Obaj 2: 1 + 3 wiedzą, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz
• Obaj 3: 1 + 2 wiedzą, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz

A powszechna wiedza oznacza, że ​​na następnym poziomie wszyscy wiedzą, że wszyscy wiedzą

• Obaj 1: 2 + 3 wiedzą, że wiem, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz

itp., ad infinitum . Te dodatkowe informacje są wymagane do rozwiązania zagadki.

Myślę, że zasadniczo mówisz: bez zapowiedzi nauczyciela, czy nadal nie jest powszechnie wiadomo, że każdy widzi co najmniej 1 czerwony kapelusz? (Powiedziałeś: „Każdy wie, że jest co najmniej jeden czerwony kapelusz. A jeśli zaczniemy od powszechnej wiedzy, powinni dowiedzieć się, że wszyscy inni to wiedzą”).

Nie wydaje mi się Osoba 1 widzi, że osoby 2 i 3 mają czerwone czapki. Tak, 1 myśli: „2 widzi czerwony kapelusz na 3”.

Jednak 1 dalej myśli: „Jeśli 2 zobaczy, że mój kapelusz jest biały, wtedy 2 sądzi, że 3 może zobaczyć oba białe kapelusze: moje i 2, które również mogą być białe. Myślę więc, że 2 może myśleć, że 3 może nie widzieć czerwonego innymi słowy, nie wiem, czy 2 wie, że 3 wie, że jest co najmniej 1 czerwony kapelusz. Nie jest powszechną wiedzą, że jest co najmniej 1 czerwony kapelusz, ponieważ myślę, że możliwe jest, że 2 myśli, że 3 nie widzi czerwony kapelusz ”.

W ten sposób psuje się stare rozwiązanie. Załóżmy, że 3 i 2 mówią po kolei, że nie wiedzą, w jakim kolorze mają czapkę. Potem jest kolej 1. 1 myśli: „Jeśli 2 wie, że 3 widzi czerwony kapelusz, to mój kapelusz jest czerwony. Bo inaczej mój kapelusz jest biały, więc 2 dochodzi do wniosku, że jego kapelusz to czerwony kapelusz, który 3 widzi. W porządku, ale czy wiem, że 2 wie że 3 widzi czerwony kapelusz? Na podstawie powyższego nie, nie wiem! Nie wiem, że 2 wie, że 3 wie, że jest czerwony kapelusz. A w szczególności nie jest to powszechna wiedza! ”

Wniosek: bez zapowiedzi nauczyciela tracimy (1) powszechną wiedzę i (2) stare rozwiązanie, w którym ostatnia zgadywanka może odgadnąć kolor kapelusza.