Co to są FOC i SOC?

19

Ciągle widzę terminy warunki pierwszego rzędu i warunki drugiego rzędu stosowane w mojej klasie ekonomii licencjackiej na temat funkcji produkcyjnych, monopoli itp., Ale nie mam pojęcia, co oznaczają te terminy. To wydaje się całkowicie dwuznaczne. Jakie warunki?

Czy ktoś może wyjaśnić, co oznaczają te terminy? Jeśli jest zależny od kontekstu, podaj niektóre z najbardziej podstawowych znaczeń, które kojarzysz z tym terminem.

microeconomics

— Stan Shunpike
źródło

20

Załóżmy, że masz rozróżnialną funkcję , którą chcesz zoptymalizować, wybierając . Jeśli jest użytecznością lub zyskiem, to chcesz wybrać (tj. Pakiet zużycia lub wyprodukowaną ilość), aby wartość była jak największa. Jeśli jest funkcją kosztu, to wybierz aby jak najmniejsze. FOC i SOC to warunki, które określają, czy rozwiązanie maksymalizuje lub minimalizuje daną funkcję. $f(x)$ $x$ $f(x)$ $x$ $f$ $f(x)$ $x$ $f$

Na poziomie licencjackim zwykle dzieje się tak, że musisz wybrać tak, aby pochodna była równa zero: To jest FOC. Intuicja tego warunku polega na tym, że funkcja osiąga swoje ekstremum (maksymalne lub minimalne), gdy jej pochodna jest równa zero (patrz rysunek poniżej). [Należy pamiętać, że w grę wchodzi więcej subtelności: poszukaj terminów takich jak „rozwiązania wewnętrzne kontra narożne”, „globalne vs lokalne maksimum / minimum” i „punkt siodłowy”, aby dowiedzieć się więcej]. $x^*$ $f$

f^{'} (x^{*}) = 0.

$f'(x^*)=0.$

Przykładowe funkcje, w których x_star jest maksimum i minimum

Jednak, jak pokazano na zdjęciu, po prostu znalezienie gdzie nie wystarczy, aby dojść do wniosku, że jest rozwiązaniem, które maksymalizuje lub minimalizuje funkcję celu. Na obu wykresach funkcja osiąga zerowe nachylenie przy , ale jest maksymalizatorem na lewym wykresie, ale minimalizatorem na prawym wykresie. $x^*$ $f'(x^*)=0$ $x^*$ $x^*$ $x^*$

Aby sprawdzić, czy jest maksymalizatorem, czy minimalizatorem, potrzebujesz SOC. SOC dla maksymalizatora wynosi a SOC dla minimalizatora wynosi Intuicyjnie, jeśli maksymalizuje , nachylenie wokół wynosi maleje. Weź lewy wykres, gdzie jest maksymalizatorem. Widzimy, że nachylenie jest dodatnie po lewej stronie i ujemne po prawej. Tak więc wokół sąsiedztwa , gdy wzrasta, maleje. Intuicja w przypadku minimalizatora jest podobna. $x^*$

f^{″} (x^{*}) < 0

$f''(x^*)<0$

f^{″} (x^{*}) > 0.

$f''(x^*)> 0.$

x^{*}

$x^*$

f

$f$

f

$f$

x^{*}

$x^*$

x^{*}

$x^*$

f

$f$

x^{*}

$x^*$

x^{*}

$x^*$

x

$x$

f^{'} (x)

$f'(x)$

— Pan K.
źródło

1

Ale dlaczego nie nazywa się to „Testem pierwszej pochodnej”, wciąż pozostaje dla mnie zagadką.

— gagarine

4

Na przykład, gdy mówimy o maksymalizacji zysku, zaczynając od funkcji zysku , głównym warunkiem dla maksimum jest: To jest FOC (pierwszy stan zamówienia). $\pi(q)$

\frac{\partial π}{\partial q} = 0

$\frac{\partial \pi}{\partial q}=0$

Chociaż, aby upewnić się, że to, co znalazłeś powyżej, jest prawdziwym maksimum, powinieneś również sprawdzić warunek „wtórny”, który brzmi: Nazywa się to SOC (warunek drugiego rzędu).

\frac{\partial^{2} π}{\partial q^{2}} < 0

$\frac{\partial^2 \pi}{\partial q^2}<0$

— ChicagoCubs
źródło

1

Celem jest znalezienie lokalnego maksimum (lub minimum) funkcji.

Jeśli funkcję można rozróżnić dwukrotnie:

Pierwszy test pochodna powie, czy jest to lokalne ekstremum.
Drugi test pochodna powie, czy jest to lokalne maksimum lub minimum.

Jeśli twoja funkcja nie jest rozróżnialna, możesz wykonać bardziej ogólny test ekstremalny .

Uwaga: nie jest możliwe zbudowanie algorytmu w celu znalezienia globalnego maksimum dla dowolnej funkcji .

Neoklasyczni ekonomiści z pewnością zmieniają nazwy tych dwóch metod matematycznych na warunki pierwszego rzędu i warunki drugiego rzędu, aby wyglądać fajnie lub z innych powodów historycznych. Po co używać nazwy powszechnie używanej, kiedy można ją tylko wymyślić?

Termin ten jest również używany w przypadku ograniczonej maksymalizacji, gdy używają metody mnożnika Lagrange'a i warunków Karusha-Kuhna-Tuckera . Ponownie nie sądzę, aby ten termin był używany przez nie-ekonomistę.

— gagarine
źródło