Jak zobaczyć, że półciągłość i supermodularność są równoważne w kontekście gry supermodularnej?

Jedno wymaganie dla gry supermodularnej jest zwykle przedstawiane na dwa sposoby (np. W tej notatce ):$(I, \mathbf S, \mathbf u)$

Dla , jest supermodular w , gdy jest stały, to znaczy do$i \in I$$u_i$$S_i$$s_{-i}$$s_i, s_i' \in S_i$

$$u_i(s_i \vee s_i', s_{-i})+u_i(s_i \wedge s_i', s_{-i}) \geq u_i(s_i , s_{-i})+u_i(s_i', s_{-i})$$

Lub

Dla , jest górny półciągły, tj$i \in I$$u_i$$\alpha \in \mathbb R$

$$\{s_i \in S_i \mid u_i(s_i, s_{-i}) < \alpha\} \text{ is open.}$$

Ale są oczywiście różne. Pierwszy z nich nadaje strukturę porządku, podczas gdy drugi wymaga wyposażenia w topologię. Jak zrozumieć tę różnicę?$S_i$

Twoja obserwacja na temat topologii i porządku jest nieco niedokładna. Pierwsza definicja korzysta z częściowego porządku na podczas gdy druga wykorzystuje topologię na niej, ale obie struktury są prawie zawsze określone przez założenie, że jest sublattise a zatem jest wyposażony w zwykłą topologię podprzestrzenną i częściową zamówienie. Jest to pierwszy punkt definicji w materiale, do którego się odwoływałeś. Te obawy są niewłaściwe.$S_i$$S_i$$R^n$

Istnieją jednak pewne wskazówki (patrz na przykład rozdział 4 w Supermodularity and Complimentarity autorstwa Topkisa), że wymóg ciągłości górnej jest większy i implikuje pierwszy. Nie jestem jednak gotów przedstawić dokładnego dowodu.