Koncepcje topologiczne w teorii ekonomii

PYTANIE: Jakie są główne lub systematyczne zastosowania matematyki po latach 60. w mikroekonomii?

Na przykład pod koniec XIX wieku Fisher po raz pierwszy wykorzystał matematyczne idee Gibbsa do skonstruowania współczesnej teorii użyteczności. W XX wieku Mas-Colell włączył idee topologiczne do badania równowagi ogólnej. A co z przełomem XX i XXI wieku?

Weźmy na przykład teorię grafów ukierunkowanych, teorię miar, topologię, teorię kategorii i współczesną homologię lub kohomologię, metody toposu, integrację funkcjonalną itp.

Uwaga 1 : ekonometria / statystyka bez modelowania jest wykluczona. Jedyną stosowaną współczesną matematyką jest teoria marszu losowego i problem ergodyczny rozwiązany za pomocą złożonej analizy. RW i EP nie są specyficzne dla ekonomii.

Każda odpowiednia publikacja ekonomiczna jest odpowiedzią. Dotyczyło to również publikacji opublikowanych w czasopismach o tematyce niesystemowej, np. Journal of Mathematical Psychology .

Uwaga 2 : Tak, wiem, ten rodzaj pracy jest rzadszy (nie należy mylić z niejasnością: niektóre z nich są dobrze znane). Właśnie dlatego łatwo przegapić takie odniesienie, gdy jest publikowane. Stąd pytanie.

Podejrzewam, że pojawiającym się ważnym obszarem zastosowań teorii miar będą przybliżone techniki programowania dynamicznego. Przybliżone programowanie dynamiczne (inaczej „uczenie o wzmocnieniu” w literaturze informatycznej) było kierunkiem prac badawczych w ciągu ostatnich 10–20 lat literatury programowania dynamicznego. Ekonomia dopiero teraz zaczyna przyjmować niektóre z tych osiągnięć. Na przykład kierunek literatury na temat DP można znaleźć w najnowszym rozszerzeniu czwartej edycji Bertsekasa serii dynamicznych programów lub w przybliżeniu DP Powella : rozwiązywanie klątwy wymiaru. Ekonomiści dopiero zaczynają zbierać niektóre z tych narzędzi, zarówno bezpośrednio, jak i pośrednio, i podejrzewam, że będą one miały coraz większy wpływ na literaturę w ciągu najbliższych kilku lat. Jednym z analitycznych podstaw zbieżności tych metod jest topologia i układy dynamiczne.

Dobrym przykładem wkładu teoretycznego ekonomistów w tego rodzaju literaturę jest Pál i Stachurski (2013), Iteracja funkcji dopasowanej wartości z prawdopodobieństwem jednego skurczu ( tutaj wersja niepowiązana ). Przejrzyj ten papier, a zobaczysz znaczenie dobrego zrozumienia teorii miary. Książka Stachurskiego „ Dynamika ekonomiczna” jest tak naprawdę bardzo ładną ekspozycją programowania dynamicznego z tej perspektywy, budującą w tempie, które działa na wielu poziomach doktorantów / profesjonalistów (teoria miar pojawia się formalnie na końcu, jak sądzę - wciąż pracuję nad te spostrzeżenia).

Mam nadzieję, że w pewnym stopniu odpowiada to na twoje pytanie. Obawiam się, że wyrażenie „matematyka po latach sześćdziesiątych” jest dla mnie nieco niejednoznaczne (z powodu mojej własnej wiedzy o historii literatury matematycznej), więc jeśli całkowicie przegapiłem ten znak, przepraszam!

To było za długie na komentarz. „Post 1960” wydaje się arbitralną i bardzo wysoką kreską dla zastosowanego pola, w tym mikro teorii. Większość tematów, które wymieniasz, nie byłaby uważana za współczesną matematykę. Na przykład teoria miar zaczęła się od tezy Lebesgue'a i ma ponad sto lat. Topologia jest jeszcze starsza i zaczęła się od Poincare, który wprowadził grupy homologii. Oba są dziś uczone studentom, jak rachunek różniczkowy. (Matematyka stosowana przez Mas-Colell i wsp. W GE to analiza, a nie topologia.)

Zewnętrzność programów badawczych, które kierują współczesną matematyką od połowy XX wieku na rzecz społeczności stosowanej, jest w najlepszym razie pośrednia. Punkt widzenia i techniki motywowane np. Nieprzemienną geometrią, programem Langlanda, hipotezą Poincare, hipotezą Baum-Connesa, hipotezą podwójnej liczby głównej (medale Fieldsa zostały przyznane po 1960 r. Za postępy w rozwiązywaniu tych problemów) itp. --- prawdopodobnie nigdy nie będzie postrzegany poza matematyką. Finanse matematyczne oczywiście pozostają matematyką, ale z ekonomicznego punktu widzenia jest to całkowicie usunięte.

Edytuj Okazuje się, że bezpośrednio odpowiadając na twoje pytanie, pojawiły się zastosowania topologii w teorii wyboru społecznego, zapoczątkowane przez Chichilnisky i in. glin. Oto artykuł JET na ten temat autorstwa topologa:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Może ktoś z doświadczeniem w topologii może komentować dalej.

Przestrzenie Loeba zostały wykorzystane do modelowania sytuacji za pomocą ciągłości agentów. Zobacz http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf i rozdziały Sun dotyczące zastosowań ekonomicznych w książce Niestandardowa analiza dla pracującego matematyka .

Teoria miar jest szeroko stosowana w problemie sprawiedliwego podziału (aka „krojenia ciasta”). Zobacz wiele artykułów o uczciwości w czasopismach ekonomicznych .

Aby zapoznać się z konkretnym przykładem, zobacz Tatsuro Ichiishi i Adam Idzik, „Sprawiedliwy przydział podzielnych dóbr”, JME 1999 .

Oprócz pracy Chichilnisky wspomnianej przez Michaela, inne interesujące zastosowanie topologii w teorii wyboru społecznego pojawia się w pracy Redekopa o twierdzeniu Arrow o domenach ekonomicznych.

• Redekop, J. (1991). Opieka społeczna funkcjonuje w ograniczonych domenach ekonomicznych. Journal of Economic Theory, 53, 396–427.
• Redekop, J. (1993a). Niespójne w domenach ekonomiczne domeny. Wybór społeczny i opieka społeczna, 10, 107–126.
• Redekop, J. (1993b). Topologia kwestionariusza w niektórych obszarach preferencji ekonomicznych. Journal of Mathematical Economics, 22, 479–494.
• Redekop, J. (1993c). Funkcje pomocy społecznej w domenach parametrycznych. Wybór społeczny i opieka społeczna, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). Twierdzenia strzałkowe w środowiskach ekonomicznych. W WA Barnett, H. Moulin, M. Salles i NJ Schofield (red.), Wybór społeczny, dobrobyt i etyka (s. 163–185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Twierdzenia strzałkowe w towarach mieszanych, stochastycznych i dynamicznych środowiskach gospodarczych. Wybór społeczny i opieka społeczna, 13, 95–112.

Twierdzenie o niemożliwości Arrow zostało pierwotnie udowodnione dla abstrakcyjnego zestawu alternatyw, pozwalającego na każdy możliwy profil preferencji w stosunku do tego zestawu alternatyw. Pytanie zadane przez Redekopa (i innych) brzmiało: czy istnieje odpowiednik twierdzenia Arrow, gdy alternatywą są wiązki dóbr, a agent ma „klasyczne” preferencje względem tych dóbr (monotoniczne, wypukłe, ciągłe, samolubne ...).

Dokładniej, pytanie brzmiało, czy istniałaby funkcja pomocy społecznej spełniająca trzy aksjomaty Arrovii (Niezależność Nieistotnej Alternatywy, Słabe Pareto i Nie-Dyktatury) w tych domenach ekonomicznych (patrz Le Breton, Michel i John A. Weymark. ” Rozdział siedemnasty-Arrowiańska teoria wyboru społecznego w domenach ekonomicznych. „Podręcznik wyboru społecznego i dobrobytu 2 (2011): 191–299 za świetną recenzję, na której opiera się ta odpowiedź).

Z grubsza, praca Redekopa pokazuje, że w przypadku niektórych z tych problemów ekonomicznych, jeśli dziedzina preferencji dopuszcza funkcję dobrobytu społecznego Arrovii, dziedzina ta musi być „mała” w pewnym sensie topologicznym. Na przykład w Redekop (1991) wprowadza genialną topologię zestawów preferencji, którą nazwał topologią kwestionariusza , i pokazuje, że w gospodarce dóbr publicznych, jeśli domena preferencji dopuszcza funkcję dobrobytu społecznego Arrovii, to domena musi nigdzie nie bądź gęsty zgodnie z tą topologią (tj. zamknięcie domeny nie zawiera otwartego zestawu).