Jaka jest różnica między lokalnym niezadowoleniem a monotonicznością?

Czy istnieje praktyczna różnica między lokalnym niezadowoleniem a montonicznością? Czy jedno może istnieć w funkcji użyteczności bez drugiej?

Monotoniczność preferencji jest silniejszym warunkiem niż niestosowanie lokalne. Monotoniczność implikuje miejscowe niestosowanie, ale nie na odwrót.

Aby to zobaczyć:

$\succsim$$\mathbb{R}^n_{+}$$\succsim$

Dowód: napraw niektóre . Niech będzie dowolne i niech będzie wektorem jednostkowym. Dla każdego mamy również . Ponieważ wyraźnie przez monotoniczność. Rozważ następujące dane dotyczące :$\varepsilon > 0$$x \in \mathbb{R}^n_{+}$$\mathbf{1} \in \mathbb{R}^n_{+}$$\lambda > 0$$x + \lambda \mathbf{1} \in \mathbb{R}^n_{+}$$x + \lambda \mathbf{1} \gg x,$ $x + \lambda \mathbf{1} \succ x$$\mathbb{R}^n_{+}$

$$d(x+\lambda \mathbf{1}, x) = ||x+\lambda \mathbf{1} -x|| = \lambda||\mathbf{1}|| = \lambda \sqrt{n}.$$

Zatem dla , jeszcze . Ponieważ był arbitralny, istnienie takiego punktu implikuje, że jest lokalnie nieobowiązany. $\lambda < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}$$d(x+\lambda \mathbf{1}, x) < \varepsilon$$x + \lambda \mathbf{1} \succ x$$x$$\succsim$$\blacksquare$

Aby pokazać, że lokalnie nie preferencyjne preferencje nie implikują preferencji monotonicznych, możesz zaproponować funkcję użyteczną nad różnymi towarami, która ściśle wzrasta w odniesieniu do niektórych towarów, ale osiąga punkt nasycenia dla co najmniej jednego z pozostałych . Na przykład w :$u(\cdot)$$\mathbb{R}^2_{+}$

$$u(x_1,x_2) = x_1 - |1-x_2|.$$

Konsument z takimi preferencjami jest nasycony względem przy .$x_2$$x_2=1$