Aukcja za wszelką cenę Mieszana strategia równowagi

Obecnie mam trudności z tym ćwiczeniem. Profesor Nash ogłasza, że wystawi na aukcję rachunek za 20 dolarów w konkursie między dwoma losowo wybranymi studentami. Każdy uczeń musi prywatnie złożyć ofertę na kartce papieru; ten, kto złoży najwyższą ofertę, wygrywa rachunek za 20 dolarów. W przypadku remisu każdy uczeń otrzymuje 10 dolarów. Aukcja jest odpłatna: każdy uczeń musi zapłacić swoją ofertę niezależnie od tego, kto wygra aukcję.

TUTAJ to pytanie

Załóżmy, że każdy uczeń może pożyczyć pieniądze od innych uczniów w klasie, aby każdy z nich miał łącznie 11 USD do licytacji. Znajdź równowagę Nasha w tym przypadku? Wiem, że muszę znaleźć równowagę nasha o mieszanej strategii, ale nie rozumiem, jak nie mogę jej obliczyć.

Dzięki

game-theory nash-equilibrium auctions

— Mathilde
źródło

Pytanie jest niekompletne. Potrzebujesz rozkładu prawdopodobieństwa w zakresie wartości prywatnych, aby obliczyć dokładną, liczbową odpowiedź.

— superhulk,

Nie potrzebujesz rozkładu prawdopodobieństwa. Pytanie jest w porządku, jak jest.

— Lee Sin,

Może zacznij od przyjrzenia się konkretnym przypadkom. Co się stanie, gdy oboje będą mieli oferty za 20 dolarów? 10? 0? Co dzieje się, gdy jeden ma 10 lat, a drugi 20 lat? Zacznij to mapować. W międzyczasie: youtube.com/watch?v=1IAsV31ru4Y Mam nadzieję, że da ci to pewien wgląd.

— Lee Sin,

@LeeSin Zatem jak znaleźć strategię ustalania stawek dla aukcji?

— superhulk,

O ile mi wiadomo strategia licytacji dla aukcji All Pay wynosi

, gdzie

jest wyceną realizowaną przez licytującego, a

jest funkcją gęstości najwyższa uporządkowane dane statystyczne między

i wszystkie RV

β^{A P} = \int_{0}^{x} y g (y) d y

$\beta^{AP} = \int_0^x yg(y)dy$

x

$x$

g (y)

$g(y)$

X_{2}, X_{3}, . . ., X_{n}

$X_2 , X_3 , ... , X_n$

mają ten sam rozkład.

X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . ., X_{n}

$X_1 , X_2 , X_3 , ... , X_n$

— superhulk,

W odpowiedzi na nasze zasady dotyczące zadań domowych , popracuję nad następującą abstrakcyjną wersją twojego pytania:

Pojedyncza nagroda zostanie przyznana w ramach aukcji typu all-pay. Załóżmy, że wartość nagrody wynosi 1 dla obu oferentów i jest to powszechnie znana. Obaj licytujący mają ograniczenie budżetowe $m$ . W przypadku remisu każdy licytujący otrzymuje nagrodę za $\frac{1}{2}$ prawdopodobieństwo. Znajdź równowagę Nasha w tej grze.

W tej grze skupimy się na symetrycznej równowadze, tzn. Obaj licytujący stosują tę samą strategię równowagi. Zanim zaczniemy, wykonajmy dwie obserwacje:

Zastrzeżenie 1 : Ilekroć w strategii równowagi znajduje się punkt masy (tj. Istnieje pozytywne prawdopodobieństwo złożenia jednej oferty), masę tę należy umieścić na górnej granicy $m$ . Jeśli nie, jeden oferent może zawsze przejść do nieco wyższej oferty i uzyskać wyższą nadwyżkę.

$(0,t)$ $t$ $b\in(0,t)$

Expected payoffs = t \cdot \frac{b}{t} \cdot 1 - b = 0.

$\text{Expected payoffs}=t\cdot \frac{b}{t}\cdot 1-b=0.$

t \cdot Uniform (0, t) + (1 - t) \cdot δ_{m} .

$t\cdot \text{Uniform}(0,t)+(1-t)\cdot\delta_m.$

t

$t$

(0, t)

$(0,t)$

m

$m$

t

$t$

b \in (0, t) \cup {m}

$b\in(0,t)\cup\{m\}$

m

$m$

t \cdot 1 + (1 - t) \cdot \frac{1}{2)} - m = 0,

$t\cdot 1+(1-t)\cdot\frac{1}{2}-m=0,$

t = 2 m - 1

$t=2m-1$

2 m > 1

$2m>1$

(2) m - 1) \cdot Mundur (0, 2) m - 1) + (2) - 2) m) \cdot δ_{m} .

$(2m-1)\cdot \text{Uniform}(0,2m-1)+(2-2m)\cdot\delta_m.$

Jak odwzorowuje pierwotny problem? Wierzę, że OP może wziąć to stąd.

— Ziwei Wang
źródło