Przedstawiono mi następujący problem:

y = 3 (x_{3})^{\frac{1}{3}} (max {x_{1}, 8 x_{2}})^{\frac{1}{3}}

$y=3(x_3)^{\frac13}(\max\{x_1,8x_2\})^{\frac13}$

A celem jest zarówno maksymalizacja zysku, jak i minimalizacja kosztów. Przede wszystkim, jeśli problemy są dwojakie, czy to oznacza, że wynik będzie taki sam w zmiennych takich jak wymagania?

WCIĄŻ, MOJA NAJWIĘKSZA KWESTIA JEST TO: kiedy pozbędziesz się maksimum , staje się to bułką z masłem Cobb Douglas. Ale po prostu nie rozumiem, jak to zrobić. Do tej pory wszystko, co mam, to to, że ta funkcja pozwala na rozwiązania narożne, więc nie jest rozwiązana tylko jako funkcja Leontieffa. Jak wybrałbyś każdy towar? Jestem też pewien, że ma to związek z cenami wejściowymi i $w_1$ $w_2$

— błotny tort
źródło

Wskazówka

W celu maksymalizacji zysku wartość lub (ale nie oba) musi wynosić zero. Jeśli nie, powiedz przy wartości optymalnej, wówczas można zwiększyć zysk poprzez obniżenie kosztów poprzez zmniejszenie bez wpływu na produkcję, a tym samym przychody. $x_1$ $x_2$ $x_1^*>x_2^*>0$ $x_2^*$

Niech . Funkcję zysku można zapisać jako gdzie $z=\max\{x_1,8x_2\}$

\begin{matrix} (1) & p [3 (x_{3})^{1 / 3} (z)^{1 / 3}] - w_{3} x_{3} - c_{z} z, \end{matrix}

$\begin{equation} p[3(x_3)^{1/3}(z)^{1/3}]-w_3x_3-c_zz,\tag1 \end{equation}$

c_{z} = {\begin{cases} w_{1} & if x_{1} > 8 x_{2} \\ w_{2} / 8 & if x_{1} < 8 x_{2} \\ min {w_{1}, w_{2} / 8} & if x_{1} = 8 x_{2} \end{cases}

$\begin{equation} c_z= \begin{cases} w_1&\text{if }x_1>8x_2\\ w_2/8&\text{if }x_1<8x_2\\ \min\{w_1,w_2/8\}&\text{if }x_1=8x_2 \end{cases} \end{equation}$

Rozwiąż warunek określający optymalny poziom i porównaj koszty osiągnięcia tego poziomu za pomocą lub . Użyj tego, który pociąga za sobą niższy koszt. $(1)$ $z$ $x_1$ $x_2$

— Pan K.
źródło

Bardzo podoba mi się ta odpowiedź, jest bardzo jasna, dziękuję! Czy nie byłoby jednak na odwrót? Wybrałbyś Z na podstawie porównania w1 z W2 / 8, czy też się mylę? Chodzi mi o to: decydujesz o produkcie po wycenie, nie jestem pewien, jak wybrać z, a zatem w użyć, jeśli nie wiesz, czy wartość x1 lub 8x2 jest większa. Mam nadzieję, że możesz mi jeszcze raz pomóc. Dziękuję Ci!

— mudcake

@mudcake: Nie ma za co. I tak, ostatecznie, czy zostanie wybrana czy zależy od porównania między i . Zauważ, że jest tylko symbolem zastępczym w maksymalizacji. Być może inaczej: porównywałbyś z i zobacz, które dane wejściowe prowadzą do wyższego zysku. Powyższe dwa problemy z maksymalizacją zysku powinny być łatwe do rozwiązania i porównania.

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

w_{1}

$w_1$

w_{2} / 8

$w_2/8$

z

$z$

π_{1} = p [3 (x_{3})^{1 / 3} (x_{1})^{1 / 3}] - w_{3} x_{3} - w_{1} x_{1}

$\pi_1=p[3(x_3)^{1/3}(x_1)^{1/3}]-w_3x_3-w_1x_1$

π_{2} = p [3 (x_{3})^{1 / 3} (8 x_{2})^{1 / 3}] - w_{3} x_{3} - w_{2} x_{2}

$\pi_2=p[3(x_3)^{1/3}(8x_2)^{1/3}]-w_3x_3-w_2x_2$

— Herr K.

Decyzja o funkcji produkcyjnej „max”:

Wskazówka