Włączenie firm na efektywną granicę zestawu możliwości produkcyjnych

Pracuję za pomocą analizy danych Coopera firmy Cooper i analizują zestawy możliwości produkcyjnych.

Przedstawiają 9 firm, każda z dwoma wejściami i jednym wyjściem:

Graficznie łatwo zrozumieć, dlaczego firmy (E, D, C) tworzą efektywną granicę, jednak staram się znaleźć motywację matematyczną do włączenia firmy D? Jak pokazać, że jego współczynniki wejścia / wyjścia gwarantują włączenie algebraicznie, a nie graficznie.

pareto-efficiency productivity

— Joseph
źródło

Nie jest jasne, jaki jest twój problem. Dlaczego warto znaleźć „motywację” do włączenia firmy D? Dlaczego powinniśmy wykazać, że jego stosunek wejścia / wyjścia „gwarantuje” jego włączenie? Jeśli jest to rzeczywisty zestaw danych, to jest to, czym jest i naszym problemem jest zrozumienie go, a nie danych, które nas dostosują. Jeśli jest to sztuczny zestaw danych, pytanie jest odwrócone: dlaczego firma D nie może należy tutaj?

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos, Kiedy wykreślasz granicę, D siedzi na niej.

— Joseph

Jest więc w pełni wydajny. Dlaczego to jest problem?

— Alecos Papadopoulos

Odpowiedzi:

Chociaż powtarzam wiele sentymentów, jakie wywołuje @AlecosPapadopoulos, może to byłoby pomocne dla twojego zrozumienia. Ostatecznie możemy rozważyć granicę wydajności jako firmy, które tworzą najbardziej efektywne sposoby (lub metody produkcji) generowania określonego produktu. Na przykład, jeśli nasz początkowy pakiet danych wejściowych (wymieniając je w $ (x_1, x_2) $ parach) $ (2,5) $, jedyną firmą, która może wygenerować jednostkę wyniku, jest firma E, stąd jej włączenie do granica wydajności.

Ale co z jakimś pakietem, takim jak $ (4,3) $ lub $ (5,2) $? Wyraźnie firmy A i D mogą wytworzyć jedną jednostkę wyjścia z pierwszym pakietem, a firmy D i F mogą wygenerować jedną jednostkę wyjścia z drugim pakietem. Jednak w obu przypadkach tylko firma D jest najbardziej wydajnym producentem.

(Dlaczego dbamy o to? Być może, jeśli staramy się uznać firmę, która spełnia problem minimalizacji kosztów. Załóżmy, że cena każdej jednostki $ x_1 $ to 1 $, a cena każdej jednostki $ x_2 $ to 2 $. Która firma będzie produkować przy najniższych kosztach? Koszty produkcji firmy D wynoszą tylko 8 $ za sztukę $ y $ (podczas gdy zarówno koszty C, jak i E wynoszą 10 $ za jednostkę produkcji!), A zatem jeśli wszystkie towary są niezróżnicowane krzywe kosztów są stałe, firma D będzie dominować na rynku).

Mam nadzieję, że to trochę wyjaśnia - daj mi znać, jeśli całkowicie źle zrozumiałem twoje zamieszanie.

— AndrewC
źródło

Cześć @ Andrew, zaczyna mieć sens. Widzę z tabeli, dlaczego D jest bardziej wydajny niż A i F, biorąc pod uwagę twoje pakiety. Jednak to, co próbuję zrozumieć, to jaka formuła matematyczna mogłaby posłużyć do określenia, które firmy będą siedzieć na granicy? Czy muszę myśleć o dowolnych miksach wejściowych i zobaczyć, kto jest najbardziej wydajny, czy też istnieje sposób na uogólnienie tego problemu?

— Joseph

@Joseph Myślę, że jest to jeden z tych problemów, gdzie analiza graficzna będzie bardziej intuicyjna niż analiza algebraiczna. Jeśli naprawdę interesowałeś się algebraiczną formą rozwiązania, możesz rozważyć warunki optymalizacji każdej firmy do produkcji jednej jednostki wyjściowej, choć znowu nie dałoby to oczywistej odpowiedzi bez dużo więcej pracy. Trzeci sposób polega na tym, aby rozważyć to bardziej intuicyjnie - wybrać jeden czynnik (powiedzmy x x 2 $) i trzymać go na różnych poziomach. Począwszy od $ x_2 = 1 $, spójrz na wykres, aby zobaczyć, która firma może utworzyć jednostkę wyjściową z tą stałą ...

— AndrewC

kwota x_2 $ i najmniejsza kwota x_1 $. Jak widać, tylko jedna firma może produkować dowolne dane wyjściowe - firma C. Więc C będzie jedną firmą na efektywnej granicy. Następnie zwiększ ustalone dane wejściowe do $ x_2 = 2 $ i zobacz, która firma potrzebuje co najmniej $ x_1 $ do stworzenia jednostki wyjścia. Teraz 2 firmy mogą stworzyć jednostkę $ y $, ale D potrzebuje tylko 4 $ $ x_1 $, podczas gdy F potrzebuje 5 $. Więc firma D będzie następną firmą na efektywnej granicy. Następnie ustaw $ x_2 = 3 $. Należy jednak pamiętać, że wszystkie te firmy potrzebują tej dodatkowej jednostki x $ 2 $, ale wszystkie nadal wymagają co najmniej tyle samo x_1 $ co firma D, a zatem żadna firma nie jest tak wydajna

— AndrewC

jak poprzedni (D). Możesz kontynuować ten trend, widząc, że dodanie większej liczby jednostek x x 2 $ pozwoli każdej nowej firmie na wyprodukowanie jednostki wyjściowej z mniejszą ilością innych danych wejściowych niż poprzednio najbardziej wydajna firma. Ale znowu nie jest to szczególnie matematyczne - po prostu sekwencyjnie biorąc pod uwagę definicję wydajności. Przykro mi, że nie mogę być bardziej pomocny, ale może to zapewnić przynajmniej algorytmiczną metodę rozwiązania problemu! (koniec)

— AndrewC

Niech $ w_i & gt; 0 $ oznacza cenę jednostkową wkładu $ x_i $, $ i {1,2} $. Rozważ problem identyfikacji firmy, która może wyprodukować 1 jednostkę produkcji po najniższych kosztach, biorąc pod uwagę ceny wejściowe $ (w_1, w_2) $. Zestaw rozwiązań tego problemu, oznaczony przez $ f_e $, będzie zależał od cen wejściowych. W szczególności, biorąc pod uwagę dane w tym problemie, mamy następujące rozwiązanie: rozpocznij {eqnarray *} f_e (w_1, w_2) = rozpocznij {przypadki} {C} i amp; tekst {if} frac {w_1} {w_2} & lt; frac {1} {4} {C, D} i amp; tekst {if} frak {w_1} {w_2} = frak {1} {4} {D} i amp; tekst {if} frac {1} {4} & lt; frak {w_1} {w_2} & lt; 1 {D, E} i text {if} frac {w_1} {w_2} = 1 {E}} i amp; tekst {if} frak {w_1} {w_2} & gt; 1 koniec {przypadki} koniec {eqnarray *}

— Amit
źródło