(I) Monopolista ma funkcję kosztu $ c (q) = q $. Staje przed następującą funkcją popytu: $ q (p) = 100 / p $ za $ p 20 $ i $ q (p) = 0 $ za $ 20 $. Jakie są zyski maksymalizujące cenę i produkcję.
Biorąc pod uwagę funkcję popytu
początek {eqnarray *} q (p) = początek {przypadki} frak {100} {p} i amp; tekst {if} p qq 20 0 i amp; tekst {if} p & gt; 20 koniec {przypadki} koniec {eqnarray *}
Tak więc przychód jako funkcja ilości $ (q) $ jest
rozpocznij {eqnarray *} r (q) = rozpocznij {przypadki} 100 i tekst {if} q qq 5 0 i amp; tekst {if} q & lt; 5 koniec {przypadki} koniec {eqnarray *}
Biorąc pod uwagę, że koszt wynosi $ c (q) = q $, zysk w funkcji ilości $ (q) $ jest
rozpocznij {eqnarray *} p (q) = r (q) - c (q) = rozpocznij {przypadki} 100 - q & amp; text {if} q qq 5 -q i amp; tekst {if} q & lt; 5 koniec {przypadki} koniec {eqnarray *}
Po prostu rozwiązujemy następujący problem, aby znaleźć optymalną ilość monopolisty:
rozpocznij {eqnarray *} max_ {q q 5} 100 - q zakończ {eqnarray *}
Rozwiązując go otrzymujemy optymalną ilość $ (q ^ m) $ i odpowiednią cenę $ (p ^ m) $ wybraną przez monopolistę jako
rozpocznij {eqnarray *} q ^ m & amp; = & amp; 5 p ^ m & amp; = & amp; 95 end {eqnarray *}
(ii) monopolista ma funkcję kosztu $ c (q) = alfa q $ gdzie alfa jest stałym kosztem krańcowym. Funkcja popytu ma stałą elastyczność cenową popytu, której wartość wynosi -3 $. Rząd nakłada podatek w wysokości 6 dolarów za jednostkę produkcji. O ile wzrośnie cena monopolisty?
Biorąc pod uwagę, że funkcja popytu ma stałą elastyczność cenową, której wartość wynosi -3 $, ma postać:
$$ q (p) = beta p ^ {- 3} $$, gdzie $ beta & gt; 0 $ jest stałą.
Teraz problem maksymalizacji zysku monopolisty pod względem ceny $ (p) $ można zapisać jako:
początek {eqnarray *} max_ {p} pq (p) - c (q (p)) end {eqnarray *}
Biorąc pod uwagę, że koszt wynosi $ c (q) = alfa q $, a popyt wynosi $ q (p) = p p ^ {- 3} $, problemem maksymalizacji zysku jest:
rozpocznij {eqnarray *} max_ {p} beta p ^ {- 2} - alfa beta p ^ {- 3} koniec {eqnarray *}
Rozwiązując to otrzymujemy optymalną cenę jako:
początek {eqnarray *} p ^ m = frak {3 alfa} {2} koniec {eqnarray *}
W przypadku podatku w wysokości 6 na jednostkę problemem jest maksymalizacja zysku
start {eqnarray *} max_ {p} beta p ^ {- 2} - alfa beta p ^ {- 3} - 6 p p {{3} end {eqnarray *}
Rozwiązując to otrzymujemy optymalną cenę jako:
początek {eqnarray *} p ^ t = frak {3 (alfa + 6)} {2} koniec {eqnarray *}
Dlatego też wzrost ceny z powodu równych podatków:
początek {eqnarray *} Delta = p ^ t - p ^ m = 9 koniec {eqnarray *}
