Problem optymalizacji z warunkami Kuhn-Tucker

Rozważ grę z dwoma graczami, w której każdy gracz ma preferencje u i = s a i c 1 - a i , gdzie c i to konsumpcja, a i i to interakcja społeczna. s i jest przez s I = T I + t i j x t j I , w którym T i jest czas spędzany przez odtwarzacz i sam i t $i=1,2$$u_i=s_i^a c_i^{1−a}$$c_i$$s_i$$s_i$$s_i=t_i+t_{ij}\times t_{ji}$$t_i$$i$ jest gracz czasispędza z odtwarzaczemj. Graczimusi zdecydować, ile swojego czasuTbędzie przeznaczyć na pracę, samotny czas, ti i interakcje społeczne t i j . Załóżmy, że dla każdej godziny, odtwarzaczidziała, że on lub ona zarabia płacęwagi zakładamy, że cena spożycia dobrej c I jest znormalizowany dop=1.$t_{ij}$$i$$j$$i$$T$$t_i$$t_{ij}$$i$$w$$c_i$$p=1$

Ostrożnie zdefiniuj problem optymalizacji odtwarzacza 1. Zapisz warunki Kuhna-Tuckera i omów je. Wyjaśnij, dlaczego gracz 1 ma strategiczną sytuację. Znajdź funkcje najlepszej odpowiedzi dla odtwarzacza 1 i 2. Wyświetl wykres tych funkcji.

Moje rozwiązanie:

$L = s_i^a c_i^{1-a} - \lambda(c_i + s_i - (T-s_i)w) + \mu (c_i + s_i - T)$

FOC:

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_i + s_i - (T - s_i)w = 0$

$\frac{\partial L}{\partial s_i} = a s_i^{a-1} c_i^{1-a} - \lambda(1+w) +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_i} = (1-a) s_i^a c_i^{-a} - \lambda +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu} = c_i + s_i - T = 0$

Postępując zgodnie z tą procedurą, nie mogę dojść do rozwiązania. Podziel się ze mną swoimi pomysłami.

Rozwiązanie, które otrzymuję:

Problem maksymalizacji użyteczności odtwarzacza jest następujący:$1$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ \left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right)^a \left(w(T-t_{12})\right)^{1-a}$$

$\log$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ a\ln\left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right) +(1-a)\ln \left(w\right) + (1-a)\ln \left(T-t_{12}\right)$$

Rozwiązując go, otrzymujemy najlepszą funkcję odpowiedzi gracza 1 as

$$\begin{eqnarray*} t_{12} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{21} \leq\frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{21}-1)}{(t_{21}-1)} & \text{if } t_{21} > \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Podobnie najlepszą funkcją odpowiedzi odtwarzacza 2 jest

$$\begin{eqnarray*} t_{21} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{12} \leq \frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{12}-1)}{(t_{12}-1)} & \text{if } t_{12} \geq \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

Teraz możesz rozwiązać najlepsze odpowiedzi, aby uzyskać równowagę Nasha.