Strategia mieszana Równowaga Nasha w grze 3x3

Co to jest MSNE dla następującej gry?

Myślę, że możesz wyeliminować strategie dla gracza 1 i dla gracza , ponieważ będą one słabo zdominowane przez wszystkie inne strategie. Następnie gra staje się grą 2x2 z dla i dla . $A$ $C$ $2$ $B,C$ $1$ $A,B$ $2$

pozwolić i jest prawdopodobieństwo odgrywa i odpowiednio, a , prawdopodobieństwo odgrywa i . Następnie w równowadze i . Zatem równowaga jest $q$ $1-q$ $2$ $A$ $B$ $p$ $1-p$ $1$ $B$ $C$ $q=1/4$ $p=1/3$

(0, 1 / 3, 2 / 3); (1 / 4, 3 / 4, 0) .

$(0,1/3,2/3); (1/4,3/4,0).$

Czy to jest poprawne?

microeconomics mathematical-economics game-theory

— Пафну́тий
źródło

@denesp. Podejrzewałem to. Nie udało mi się go rozwiązać bez wyeliminowania strategii ...

— Пафну́тий

@HerrK. Masz rację. Przepraszam Пафну́тий, nie powinienem był tak pochopnie czytać twojego pytania.

— Giskard,

Ogólna procedura rozwiązywania problemu MSNE w grze 3 na 3 (lub większej) jest zawsze nieco trudna i wiąże się z pewnymi próbami i błędami

Krok 1: Przypuszczenie (tj. Zgadnij) podzbiór strategii, które będą stosowane w równowadze
Krok 2: Oblicz ich prawdopodobieństwa, stosując warunek obojętności
Krok 3: Sprawdź, czy nie można jednostronnie poprawić wypłaty równowagi; oznacza to, że żaden gracz nie ma silnej motywacji, aby przejść do innej strategii

Załóżmy, że twoje domniemane strategie to (tak naprawdę nie ma znaczenia, jaka jest podstawa twojej przypuszczenia; dowiesz się w ten czy inny sposób, czy jest to poprawne ). Następnie obliczyć prawdopodobieństwa, stosując warunki obojętności graczy. Niech i , mamy [Sugeruje to, że twoje obliczenia dla były nieprawidłowe.] $\{B,C\}\times\{A,B\}$ $p=\sigma_1(B)$ $q=\sigma_2(A)$

\begin{aligned} - 3 p & = - 1 & \Rightarrow p = 1 / 3 \\ 3 q + 1 - q & = 1 - q & \Rightarrow q = 0. \end{aligned}

$\begin{align} -3p&=-1&&\Rightarrow\quad p=1/3\\ 3q+1-q&=1-q&&\Rightarrow\quad q=0. \end{align}$

q

$q$

Na koniec (jest to najłatwiejszy do zapomnienia krok) sprawdź, czy nikt nie ma motywacji, by odejść od tej równowagi. W tym przypadku wypłata gracza 1 wynosi , co jest już najwyższą, biorąc pod uwagę strategię wyboru przez gracza z prawdopodobieństwem 1. Byłby obojętny między mieszaniem w innych proporcjach ponad i , a jego wypłata jest ściśle niższa, jeśli zagra z prawdopodobieństwem dodatnim. $1$ $B$ $B$ $C$ $A$

Oczekiwana wypłata dla gracza 2 w tej równowadze wynosi , co jest również najwyższą strategią mieszaną danego gracza 1. Jest obojętna między mieszaniem i z innymi proporcjami i jest zdecydowanie gorzej, jeśli gra się z prawdopodobieństwem dodatnim. $-1$ $A$ $B$ $C$

Tak więc jeden MSNE to . Jest to tylko granica zgodna z twoją początkową ponieważ . Niemniej jednak jest to MSNE. W rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele MSNE w tej formie: gdzie . Jest to pełny opis wszystkich równowag (w tym czystej) w tej grze. $((0,1/3,2/3),(0,1,0))$ $\sigma_2(A)=0$ $((0,p,1-p),(0,1,0))$ $p\ge1/3$

— Pan K.
źródło