Bezpłatny problem jeźdźca w teorii gier

Załóżmy, że miasto buduje most i kosztuje $ B $. Są mieszkańcy $ n $.

Wycena mostu każdej wioski jest prywatną informacją, $ v_i $.

Powszechnie wiadomo, że wycena ta pochodzi z jednolitej dystrybucji $ [0,1] $. $ B w [0,1] $.

Wieśniak może przesłać tylko 0 $ lub $ B $.

Jeśli jeden wieśniak przekaże $ B $, wtedy most jest budowany i każdy inny wieśniak płaci za ich złożenie.

Jeśli nie ma mostu, każdy dostaje 0 $.

Jak skonstruować oczekiwaną wypłatę wioski $ i $?

To, co udało mi się uzyskać, to 2 scenariusze: $ v_i & gt; B $ i $ v_i q B $.

Ale w każdym przypadku mam dwie możliwe wypłaty. W pierwszym przypadku

jeśli każdy inny gracz przesyła $ 0 $, $ i $ powinien przesłać B, ponieważ $ v_i-B> 0 $.
jeśli ktoś płaci $ B $, $ i $ powinien złożyć 0, ponieważ dostaje $ v_i $.

Otrzymujesz podobny typ dla drugiego scenariusza.

Ale w jaki sposób włączyć to do spodziewanej wypłaty $ i $ i jak powinienem postępować w konstruowaniu funkcji opieki społecznej?

Czuję, że jest to tylko wariant aukcji all-payout z dyskretną przestrzenią akcji dla każdego $ i $.

Niech $ b_i w {0, B} $ będzie strategią $ i $. Wypłata $ i $ zależy od profilu strategii $ (b_i, b _ {- i}) $, gdzie $ b _ {- i} = (b_j) _ {j ne i} $.

rozpocznij {równanie} u_i (b_i, b _ {- i}) = rozpocznij {przypadki} v_i i amp; tekst {jeśli $ b_i = 0 $ i $ b_j = B $ dla niektórych $ j ne i $} 0 i tekst {jeśli $ b_i = 0 $ i $ b_j = 0 $ dla wszystkich $ j ne i $} v_i-B i amp; tekst {jeśli $ b_i = B $} koniec {przypadki} koniec {równanie}

Zatem $ b_i = B $ jest najlepszą odpowiedzią, jeśli rozpocznij {równanie} u_i (B, b _ {- i}) g u_i (0, b _ {- i}) quad lewostronny quad v_i-B ge (1- Pr (b_j = 0, all j ne i)) v_i. koniec {równanie}

Ponieważ gra jest ex ante symetryczny, moglibyśmy dalej założyć, że każdy $ i $ przyjmuje strategię progową, tj. rozpocznij {równanie} b_i = rozpocznij {przypadki} 0 & amp; text {if $ v_i le line v $} B & amp; tekst {jeśli $ v_i & gt; overline v $} end {cases} tag {2} koniec {równanie} gdzie $ overline v $ jest jakąś wspólną wartością progową. Następnie prawdopodobieństwo w $ (1) $ można zapisać jako rozpocznij {równanie} (B_j = 0, all j ne i) = Pr (v_j le line v, all j ne i) = (vline v) ^ {n-1}, tag {3} koniec {równanie} gdzie ostatnia równość jest uzyskiwana przy założeniu, że $ v_j $ są i.i.d. i $ v_j sim U [0,1] $.

Konsolidując $ (1) $ do $ (3) $, możemy rozwiązać wartość odcięcia $ line v = B ^ {1 / n} $.